Теорема об униформизации — обобщение теоремы Римана об отображении на двумерные римановы многообразия. Можно сказать, что теорема даёт наилучшую метрику в данном конформном классе.
Формулировка Любая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна сфере Римана , комплексной плоскости , либо открытому единичному диску .
Следствия Любая риманова метрика на связном двумерном многообразии конформно эквивалентна полной метрике с постоянной кривизны. Если многообразие замкнуто, то знак кривизны можно найти по его эйлеровой характеристике. Если эйлерова характеристика положительна, то многообразие конформно эквивалентно сфере или проективной плоскости с канонической метрикой. Если эйлерова характеристика равна нулю, то многообразие конформно эквивалентно плоскому тору или плоской бутылке Кляйна. При этом у тора и бутылки Кляйна существует 2-параметрическое семейство плоских метрик, не конформно эквивалентных друг другу. Если эйлерова характеристика отрицательна, то многообразие конформно эквивалентно гиперболической поверхности.
Вариации и обобщения Теорема геометризации может рассматриваться как обобщения теоремы об униформизации на трёхмерные многообразия.
Литература Форд Л. P. Автоморфные функции. — пер. с англ. — М.— Л., 1936.
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия * Категория:Комплексный анализ