Основная теорема аффи́нной геометрии говорит, что биективное отображение евклидовой плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием, то есть оно записывается в координатах как
для каких-то констант . В частности из теоремы следует, что любое такое отображение непрерывно.
Так называются и обобщения этого результата на пространства высших размерностей, а так же на векторные пространства над другими полями и телами. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.
Формулировка
Пусть — векторное пространство над телом , — векторное пространство над телом . Определим полулинейное отображение как отображение , удовлетворяющее свойству
где — изоморфизм тел и . Пусть и — аффинные пространства, ассоциированные с и соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение , удовлетворяющее свойству
где — полулинейное отображение.
Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение удовлетворяет следующим условиям:
Если , то образ любой прямой прямая или точка Если , то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка Тогда — полуаффинное отображение.
Вариации и обобщения Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так: Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием. Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем являются аффинными, так как на есть только тривиальный автоморфизм. Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение. Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения. Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность , конечномерность и , а также совпадение их размерностей, то в случае условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.
Применение
Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.
Примечания
Литература
Категория:Аффинная геометрия Аффинной геометрии основная теорема