Минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Карлом Шварцем.
В 1880-х годах Шварц и его студент Е. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхности. Им позднее дал названия Алан Шён в его фундаментальном отчёте, где он описал гироид и другие трижды периодические минимальные поверхности.
Поверхности генерировались с помощью симметрий: если дано решение задачи Плато для многоугольника, отражения поверхности относительно линий границы также даёт правильные минимальные поверхности, которые могут быть непрерывным образом соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречает плоскость под прямыми углами, то зеркальное отражение относительно плоскости также может быть присоединено к поверхности. Следовательно, если дан подходящий начальный многоугольник, вписанный в единичную ячейку, периодическая поверхность может быть построена.
Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей.
Они рассматривались как модели для периодических наноструктур в блок-сополимерах, электростанических эквипотенциальных поверхностях в кристаллах и гипотетических отрицательно искривлённых графитовых фазах.
Поверхность Шварца P («Primitive» = «Примитивная»)
Шён назвал эти поверхности «примитивными», поскольку они имеют два переплетённых конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решётки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, ячейки могут иметь форму любого прямоугольника, что даёт семейство минимальных поверхностей с одной и той же топологией.
Поверхность можно аппроксимировать явной поверхностью .
Поверхность P рассматривалась для разработки прототипов тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объёму и высокой пористостью.
Поверхность Шварца D («Diamond» = «Алмаз»)
Шён назвал эту поверхность «алмазом», поскольку она имеет два переплетающихся конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой полой версии . В литературе эта поверхность иногда называется поверхностью F.
Поверхность может быть аппроксимирована явной поверхностью
Точное выражение существует в терминах эллиптических интегралов, основанных на параметризации Вейерштрасса — Эннепера.
Поверхность Шварца H («Hexagonal» = «Шестиугольная»)
Поверхность Шварца H подобна катеноиду с треугольной границей, что позволяет заполнить всё пространство.
Поверхность Шварца CLP («Crossed layers of parallels» = «Скрещённые слои параллелей»)
Иллюстрации http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html Triply Periodic Surfaces of Genus 3 Bicontinuous cubic phases based on triply periodic minimal surfaces Schwartz's Surface http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Минимальные поверхности