Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).
Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде .
Определение
Пусть – произвольное целое число и для взаимопростого с введено обозначение . Тогда для полной суммой Клоостермана называется сумма вида
Неполной называется сумма по некоторому интервалу .
Иногда рассматриваются суммы по простым, полилинейные суммы с участием обратных элементов и другие суммы вида , где .
При заданном обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных , в том числе величина .
Свойства
При полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.
Если , то , поэтому вопрос оценки сводится к случаю .
Оценки
, где – число делителей. Из этого следует, что для любого ., формула (1) и теорема 3
Для сумм последнего вида при известны также другие оценки, нетривиальные при ., теорема 16; см. также обзор подобных результатов в
Примечания
Литература
Категория:Аналитическая теория чисел