Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a()…(), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a()…(), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.
Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.
Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду , где полином p() имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.
Степень полинома обозначается deg (, , от + de-).
Названия определённых степеней
Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ (ниже). Степень константы, не равной нулю, — 0. Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени. Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени. Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени.
В d-мерном евклидовом пространстве ()-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется ()-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:
квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью; кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза, полукубическая парабола; квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота.
Примеры
Многочлен x() имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей. У многочлена ()() коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: (x − )(x − ), — так что он имеет степень 2. У многочлена одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином ()2 − ()2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x2. 2()xy является многочленом третьей степени. Многочлен имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y. Степень многочлена равна 2.
Степень многочлена при операциях над ними
Умножение При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:
Например, степень полинома 6(x − )(x − ) = 6x2 − 5x + 2, как и (x − )(x − ) = x2 + x + , равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:
К примеру, степень многочлена ()() = равна .
Сложение, вычитание Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:
То же самое неравенство верно и для разности:
При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен ()2 имеет четвёртую степень, ()2 — вторую, а многочлены ()2 ± ()2 — 4-ю.
Композиция Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:
Например, если p(x) = , q(x) = , то степени многочленов = и = равны .
Степень многочлена нескольких переменных Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна .
В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.
Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:
а относительно y:
Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином ()y2 + ()y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен ()y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).
Степень нулевого многочлена Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой, либо отрицательной — как правило, −1 или −∞.
В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.
При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):
Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то
а с другой стороны,
Примечания
Ссылки
https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html