Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — обобщение понятия прямой для искривлённых геометрических пространств — кривая на многообразии с аффинной связностью, являющаяся траекторией движения точки с постоянной скоростью. При наличии римановой метрики такие кривые также характеризуются тем, что в каждой точке они имеют минимально возможную кривизну при заданном (в этой точке) направлении движения, а на малых участках кривой представляют собой кратчайший путь, соединяющий любую пару точек этого участка.
Примеры геодезических линий: на плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей. Так как ни окружности, ни винтовые линии не являются геодезическими в трёхмерном евклидовом пространстве, эти примеры показывают, что геодезичность кривой относительна, привязана к конкретному многообразию, её содержащему.
Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временна́я эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей.
Дифференциальная геометрия
Многообразия с аффинной связностью В многообразиях с аффинной связностью геодезическая — это кривая , удовлетворяющая уравнению
В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля:
где — координаты кривой.
Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.
Римановы и псевдоримановы многообразия В римановых и псевдоримановых пространствах геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:
здесь — кривая в пространстве, — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)
Это условие эквивалентно тому, что:
вдоль всей кривой, где обозначает связность Леви-Чивиты.
Для уравнений геодезической при наличии римановой метрики первым интегралом является квадрат скорости: .
В локальных координатах, так как , получается уравнение: .
Такой же первый интеграл получается и в псевдоримановом случае, но здесь он не имеет смысла квадрата скорости.
Поскольку геодезические являются решением вариационной задачи на оптимизацию интеграла энергии, они удовлетворяют соответствующим уравнениям Эйлера-Лагранжа , с лагранжианом .
Уравнения Эйлера-Лагранжа полностью эквивалентны уравнениям геодезических, но в ряде случаев удобнее, так как не требуют вычисления символов Кристоффеля, и в часто встречающемся случае наличия циклической координаты (когда тождественно) дают первый интеграл .
Поскольку геодезические являются и решением вариационной задачи на нахождение кратчайшего пути, они также удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа с другим лагранжианом - модулем скорости: .
Примеры Пример 1. Одномерное многообразие (кривая) с локальным параметром (время по смыслу) и римановой метрикой .
Для геодезического пути нужно, чтобы квадрат скорости был константой: . Тогда получается связь между временем с натуральным параметром кривой:
или, интегрируя, . Таким образом, время движения вдоль геодезической кривой не произвольно, а линейно зависит от натурального параметра, что означает равномерное по длине прохождение данной кривой.
Пример 2. Цилиндрическая поверхность над плоской кривой в трёхмерном евклидовом пространстве с координатами .
Пусть - локальная параметризация кривой . Тогда метрический тензор равен:
Лагранжиан (энергетический):
Так как коэффициенты в формуле не зависят от , можно выписать первый интеграл, соответствующий первому уравнению Эйлера-Лагранжа: , что означает, что движение проекции точки на вертикальное направление равномерно. Наконец, оставшееся уравнение Эйлера-Лагранжа
соответствует уравнению Эйлера-Лагранжа для геодезического прохождения кривой в плоскости .
Вывод: геодезическое движение на цилиндрической поверхности складывается из двух геодезических движений: в вертикальном направление движение равномерно, и горизонтальная составляющая (проекция) равномерно обходит кривую в горизонтальном сечении.
Пример 3. Поверхность вращения в трёхмерном евклидовом пространстве, в цилиндрических координатах заданная уравнением .
Метрический тензор:
На этот раз в качестве лагранжиана возьмем модуль скорости:
Так как коэффициенты в формуле не зависят от , можно выписать первый интеграл, соответствующий первому уравнению Эйлера-Лагранжа:
Возводим в квадрат, группируем, извлекаем квадратный корень и интегрируем:
, если .
Получено общее уравнение геодезических на поверхности вращения. Здесь - произвольные константы.
В частности, при получаем, что каждый меридиан
является геодезической кривой на поверхности вращения.
Метрическая геометрия В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).
Согласно лемме Гаусса, для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.
Использование в физике Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.
Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.
См. также Ортодромия Экспоненциальное отображение Геодезический купол
Литература
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — Любое издание. Мищенко А. С., Фоменко А. Т.. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание. Постников М. М.. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия