Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.
Выделяют два типа конфигурационных пространств: пространство упорядоченных наборов различных точек данного пространства и пространство неупорядоченных наборов его различных точек, где .
Введение Понятие конфигурационного пространства естественно возникает во множестве областей математики и её приложений.
Конфигурационные пространства поверхностей, таких как евклидова плоскость и сфера , тесно связаны с теорией кос и пространствами модулей. Кроме того, конфигурационные пространства многообразий возникают в различных задачах алгебраической топологии и могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространств непрерывных отображений. Широкие приложения допускает задача вычисления гомотопических типов конфигурационных пространств.
Например, пространство наборов различных точек евклидова пространства является естественным контекстом гравитационной задачи тел. Так, существование периодических решений соответствующей гамильтоновой системы может быть получено путём изучения категории Люстерника — Шнирельмана и ряда Пуанкаре пространства петель .
Конфигурационные пространства возникают в задачах, известных под общим именем «Тринадцатая проблема Гильберта», а именно, в задаче представления (многозначных) алгебраических функций от нескольких переменных в виде композиции функций меньшего числа переменных. Классическим примером результата в данном направлении является утверждение о том, что при функция, сопоставляющая набору комплексных чисел множество из корней многочлена
,
не может быть представлена в виде композиции функций меньшего чем числа переменных. В 1970 году Владимир Игоревич Арнольд предложил подход к этой задаче, основанный на подсчёте конфигурационного пространства плоскости , и доказал данное утверждение в случае, если число является степенью двойки.
Родственным к данному является естественное возникновение конфигурационных пространств в теории накрытий. Так, каждое -листное накрытие задаёт непрерывное отображение , сопоставляющее точке её полный прообраз . Данное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп
,
где — так называемая группа кос топологического пространства . Этот гомоморфизм является важным инвариантом накрытия .
Определение Конфигурационное пространство упорядоченных наборов различных точек топологического пространства — это множество -компонентных кортежей попарно различных элементов из , то есть подмножество
для всех
декартовой степени , рассматриваемое с топологией, индуцированной с топологии произведения на . Также используются обозначения , и .
Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов различных точек топологического пространства — это пространство его -элементных подмножеств. Иными словами, это факторпространство пространства по отношению, при котором два кортежа эквивалентны, если один может быть получен из другого перестановкой компонент. Также используются обозначения , и .
В вырожденном случае имеются равенства .
В литературе также встречаются следующие модификации предыдущих конструкций.
Пространство конечных упорядоченных наборов различных точек топологического пространства — это дизъюнктное объединение
.
Пространство конечных подмножеств топологического пространства — это дизъюнктное объединение
.
Свойства Конфигурационные пространства гомеоморфных топологических пространств гомеоморфны.
В случае, если является топологическим многообразием (возможно, с непустым краем) размерности , пространства и являются многообразиями размерности . Кроме того, если связно и , то оба пространства и связны.
Каноническая проекция совпадает с канонической проекцией на факторпространство пространства по следующему действию симметрической группы: . Поскольку данное действие непрерывно и вполне разрывно, отображение является накрытием, причем регулярным. Число его листов равно порядку группы , то есть .
Евклидовы пространства Конфигурационные пространства некоторых евклидовых пространств можно описать в следующих элементарных терминах.
Прямая Вещественная прямая гомеоморфна единичному интервалу , поэтому для изучения структуры конфигурационных пространств прямой достаточно рассматривать конфигурационные пространства такого интервала. Они, в свою очередь, допускают следующие описания.
Каждый элемент пространства неупорядоченных наборов различных точек интервала задаётся такой последовательностью вещественных чисел, что
.
Непосредственно из его определения следует, что такая последовательность соответствует внутренней точке симплекса размерности , причем данная кодировка непрерывно зависит от исходной последовательности. Таким образом, пространство гомеоморфно внутренности -мерного симплекса. Например, пространство гомеоморфно внутренности треугольника, а пространство — внутренности тетраэдра.
Каждый неупорядоченный набор различных точек единичного интервала можно упорядочить ровно способами. Таким образом, пространство гомеоморфно дизъюнктному объединению копий пространства .
В частности, каждая компонента связности пространств и стягиваема. Более того, в обоих случаях множество конфигураций, в которых соседние точки (вместе с точками и ) равноудалены друг от друга, является деформационным ретрактом объемлющего пространства: каждый «неровный» набор может быть деформирован в «ровный» путём равномерного расталкивания или сближения его элементов.
Пары точек в евклидовых пространствах Пара различных точек на плоскости однозначно определяется первой точкой и вектором , отвечающем за расположение второй точки относительно первой. Данная кодировка непрерывно зависит от исходной пары точек. Следовательно, конфигурационное пространство таких точек гомеоморфно произведению плоскости и проколотой плоскости:
.
Данный подход обобщается на произвольное евклидово пространство . А именно, отображение устанавливает гомеоморфизм
.
В общем случае отображение
устанавливает гомеоморфизм
.
Похожую кодировку допускает пространство двухэлементных подмножеств евклидова пространства . Так, подобные подмножества однозначно определяются своим центром масс , расстоянием и прямой, проходящей через эти точки, которая представляет собой элемент размерности . Таким образом,
.
В частности, пространства и гомотопически эквивалентны, соответственно, пространствам и .
Плоскость Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов различных точек плоскости допускает следующую интерпретацию в терминах многочленов без кратных корней, предложенную Владимиром Игоревичем Арнольдом в его работе 1970 года.
Отождествим плоскость с комплексной плоскостью . Множество всех приведённых многочленов степени одной комплексной переменной, то есть многочленов вида
,
где , может быть отождествлено с произведением . Согласно основной теореме алгебры, сопоставление набору комплексных чисел многочлена
задаёт сюръективное отображение произведения в пространство таких многочленов. В терминах предыдущего отождествления оно может быть задано формулой
,
где — значение элементарного симметрического многочлена степени от переменных на кортеже . Образом сужения этого отображения на конфигурационное пространство является множество многочленов без кратных корней. Данное сужение индуцирует гомеоморфизм между конфигурационным пространством и множеством приведённых многочленов степени без кратных корней одной комплексной переменной.
Изучение свойств гомеоморфизма, обратного к указанному выше, является одной из основных тем в классической теории Галуа.
Тройки точек на плоскости
Конфигурационное пространство трёхэлементных подмножеств комплексной плоскости и внутренность дополнения узла трилистника гомотопически эквивалентны. Данная гомотопическая эквивалентность может быть установлена следующим образом.
Как отмечено выше, пространство гомеоморфно пространству кубических приведённых многочленов одной комплексной переменной, не имеющих кратных корней: конфигурации соответствует многочлен
.
Подпространство многочленов вида , где , является деформационным ретрактом объемлющего пространства многочленов. А именно, искомая деформация многочленов переносит центр масс их корней в начало координат и задаётся формулой
.
Многочлен вида не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант не равен нулю. Поэтому пространство таких многочленов гомеоморфно подпространству
пространства . Далее, пространство
является деформационным ретрактом пространства . А именно, искомая ретракция представляет собой «подкрученную» радиальную проекцию вида , где — определённая константа.
Поскольку уравнение высекает в трёхмерной сфере
узел трилистник, пространство совпадает со внутренностью его дополнения.
Сферы
Окружность Конфигурационное пространство окружности допускает следующее описание в терминах конфигурационного пространства интервала.
Введём на окружности координаты, отождествив её со стандартной единичной окружностью на комплексной плоскости. Тогда отображение
осуществляет гомеоморфизм . Таким образом, конфигурационное пространство упорядоченных наборов различных точек окружности гомеоморфно произведению окружности и дизъюнктного объединения копий открытых симплексов размерности .
В частности, пространство гомотопически эквивалентно дизъюнктному объединению окружностей. Точнее, подобно случаю интервала, множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом объемлющего пространства.
Аналогичные рассуждения показывают, что множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом конфигурационного пространства . Это множество гомеоморфно окружности, и тем самым, конфигурационное пространство гомотопически эквивалентно окружности.
Пары точек на сферах Конфигурационное пространство пар различных точек на окружности совпадает с дополнением простой замкнутой кривой до тора .
Имеется также следующая наглядная кодировка элементов пространства . Для стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм . Точнее, в случае окружности возможно сопоставить точке координату на дуге , проложенной в положительном направлении окружности. Данная кодировка непрерывна и устанавливает гомеоморфизм
конфигурационного пространства пар различных точек на окружности с бесконечным цилиндром.
Данный подход частично обобщается на произвольную сферу . Для стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм . Однако в общем случае может не быть естественного способа сопоставить подобную координату каждой точке так, чтобы кодировка осуществляла гомеоморфизм пространств и . В действительности, она осуществляет гомеоморфизм
между конфигурационным пространством пар различных точек на сфере и его касательным пространством сферы . Кроме того, отображение
,
заданное формулой , является гомотопической эквивалентностью. Препятствием к гомеоморфности пространств и является непараллелизуемость сферы , имеющая место при .
Конфигурационное пространство двухэлементных подмножеств окружности может быть получено из пространства следующим образом. Представим тор в виде факторпространства квадрата по отношению и , где . Тогда пространство получается из данного факторпространства удалением диагонали . Чтобы получить искомое пространство , требуется отождествить точки полученного пространства, симметричные относительно данной диагонали: . Подобное отождествление равносильно представлению пространства в виде факторпространства прямоугольного треугольника с вырезанной гипотенузой
по отношению , где . Такое факторпространство гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса.
В общем случае сферы конфигурационное пространство допускает следующее описание.