Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическая модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году ЛявомA. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491—549. с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.
В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.
прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации; прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации; и толщина пластины не изменяется при деформации.
Предполагаемые перемещения/смещения Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен . Тогда его можно разложить
Векторы образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, а также — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а — координата направленная вдоль толщины.
Пусть смещение точки на пластине равно . Тогда
Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности и смещение вне плоскости в направлении . Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как
Обратите внимание, что индекс пробегает значения 1 и 2, но не 3.
Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, чтоЕсли — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява
Обратите внимание, что выражение для представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.
Квазистатические пластины Кирхгофа — Лява Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.
Соотношения деформация-смещение Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид
где как и .
Используя кинематические предположения, получимСледовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.
Уравнения равновесия Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке эти уравнения имеют вид
где толщина пластины . В индексной записигде — механические напряжения.
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" !Вывод уравнения равновесия для малых вращений |- |Для ситуации, когда напряжения и вращения пластины малы, вариация внутренняя энергия записывается в виде
где толщина пластины и усилия и моменты определяются как
Интегрирование по частям приводит к
Симметрия тентора напряжений подразумевает, что . Отсюда
Проинтегрируем по частям ещё раз
В случае, отсутствия внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что вариация . Уравнения равновесия для пластины задаются
Если пластина испытывает внешнюю распределенную нагрузку , которая направлена по нормали к срединной плоскости и напрвлена вдоль направления , то внешняя виртуальная работа из-за нагрузки
Принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия
Граничные условия Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид
Обратите внимание, что — это эффективная сила сдвига.
Материальные соотношения Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид
поскольку , а также не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид
Тогда
и
Жесткости — это величины
Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб) — это величины
Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению
В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как
где
Малые деформации и умеренные вращения Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10 до 15, то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как
Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.
Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.
Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде
Изотропные квазистатические пластинки Кирхгофа — Лява В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид
где — коэффициент Пуассона и модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид
или в развернутом виде
где для пластин толщиной . Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями
В верхней поверхности пластины, где , напряжения
Чистый изгиб Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)
Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от и . В индексной записи
и в прямой записикоторое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются выражением
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" !Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба |- |Для изотропных, однородных пластин под действием чистого изгиба основные уравнения
и соотношения напряжения-деформации
Тогда
и
Дифференцирование приводит к
и
Подставим результат в основные уравнение, получим
Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то , , и. Отсюда
В прямой тензорной нотации, основное уравнение для пластины
где мы предположили, что перемещения постоянны.
Изгиб под действием поперечной нагрузки Если распределенная поперечная нагрузка применяется к пластине, то определяющее уравнение . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаемTimoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., (1959), Theory of plates and shells, McGraw-Hill New York.В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид
а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)
Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин.
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" !Вывод уравнений равновесия для поперечной нагрузки |- |Для поперечно нагруженной пластины без аксиальных деформаций, основное уравнение примет вид
где распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Замена выражений на производные в основном уравнении приводит к
Используя для изгибной жёсткости выражение
запишем основное уравнение в виде
В цилиндрических координатах ,
Для аксиально-симметричной нагрузки и круглых пластин, , тогда
Цилиндрический изгиб При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда . В таком случае
а также
и определяющие уравнения становятся к
Динамика пластин Кирхгофа — Лява Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.
Основные уравнения Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:где для пластины с плотностью ,
а также
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" !Вывод уравнений, регулирующих динамику пластин Кирхгофа — Лява
Полная кинетическая энергия пластины
Таким образом, вариация кинетической энергии
Тут мы используем следующую нотацию
Тогда
Для пластин Кирхгофа — Лява
Отсюда
Определим для постоянной по толщине
Тогда
Интегрирование по частям даёт
Вариации и равны нулю при и . Таким образом, после перемены последовательности интегрирования
Интеграция по частям в срединной поверхности даёт
Опять же, поскольку вариации остаются нулевыми в начале и в конце промежутка времени, то
Для динамического случая вариация внутренней энергии
Интеграция по частям и предположение о нулевой вариации на границе срединной поверхности дает
Если имеется внешняя распределенная сила действуя по нормали к поверхности пластины, то виртуальная внешняя работа
Из принципа виртуальной работы . Таким образом, основные уравнения баланса для пластины
Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.
Изотропные пластины Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):
где — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной ,
В прямой записи
Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align: left" !Вывод динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа — Лява
Для изотропной и однородной пластины, соотношения напряжения-деформации
где задаются в плоскости пластины. Соотногения деформации-перемещения в теории Кирхгофа — Лява
Таким образом, в результирующие моменты, соответствующие этим перемещениям
Основные уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины при отсутствии перемещений в срединной плоскости
Дифференциация выражений для моментов даёт
Подставление в основные уравнения приходим к
Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то . Отсюда
Если жёсткость пластины определим как
то
Для небольших деформаций, мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, тогда
Тошда в прямой тенсорной нотации, основное уравнение для пластин
Примечания
Категория:Механика сплошных сред Категория:Википедия:Страницы с непроверенными переводами