Связанные состояния в континууме (ССК) или локализованные состояния в континууме (ЛСК), — это собственное состояние какой-либо квантовомеханической или другой открытой системы, обладающее следующими свойствами:
Энергия лежит в области непрерывного спектра (континуума) распространяющихся мод окружающего пространства; Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (не может излучать плоскую, цилиндрическую или сферическую волну и не может возбуждаться никакой волной), а значит обладает бесконечным временем жизни (добротностью) и вещественной энергией в отсутствие безызлучательных потерь.
В силу волновой природы, этот феномен наблюдается не только в квантовой механике, но также в фотонике, в теории упругости и т.д. Связанные состояния в запрещённой зоне, где нет конечных решений на бесконечности, широко известны (атомы, квантовые точки, дефекты в полупроводниках). Однако, CCK не следует путать с обычными связанными состояниями. Для решений в континууме, которые связаны с этим континуумом, известны резонансные состояния, которые распадаются (теряют энергию) со временем. Они могут возбуждаться падающей волной с той же энергией, и к ним относятся, например, собственные моды открытых оптических резонаторовLalanne, Philippe, et al. "Light Interaction with Photonic and Plasmonic Resonances." Laser Photonics Rev., vol. 12, no. 5, 1 May. 2018, p. 1700113. В отличие от резонансных состояний, связанные состояния в континууме имеют вещественные собственные значения энергии и поэтому не взаимодействуют с состояниями непрерывного спектра и не могут распадаться. Кроме того, ССК не следует путать с собственными состояниями таких систем как потенциальная яма с бесконечными стенками или резонатор с идеально проводящими стенками, поскольку такие системы не являются открытыми по определению.
Классификация + Классификация локализованных состояний в континууме по механизму возникновения Тип ССК Объяснение, подтипы Примеры ССК, возникающие при решении «обратной задачи» 1) ССК Вигнера — фон Неймана (Potential engineering): волновая функция одного из состояний континуума модифицируется так, чтобы быть нормируемой, и для неё подбирается соответствующий потенциал.
2) Модифицирование амплитуды перескока (): В приближении сильной связи скорости перескока модифицируются таким образом, чтобы состояние стало локализованным
3) Модифицирование формы границ: источники в ССК, например, Фабри — Перо типа заменяются на рассеиватели таким образом, чтобы создавать ССК того же типа. 1) В работе фон Неймана и Вигнера рассматривается два типа сферически-симметричных потенциалов, при этом в потенциале локализация происходит за счет «отражения» от бесконечности (т.к. на бесконечность материальная точка уходит за конечное время, скатываясь с этого потенциала, и вероятность нахождения там стремится к нулю). Аналогичный пример в 1D рассматривает экспоненциальную зависимость потенциалаZafar Ahmed et al 2019 Phys. Scr. 94 105214. Второй тип потенциалаSimon, B. On positive eigenvalues of one-body Schrödinger operators. Commun. Pure Appl. Math. 22, 531–538 (1969)Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446–454 (1975) имеет сложную форму, но при этом периодически модулируется с периодом . Волновая функция с периодом отражается от такого потенциала в центр по аналогии с отражением от брэгговского зеркала. В одномерном случае такие потенциалы могут быть реализованы с помощью сверхрешетокD. R. Herrick, “Construction of bound states in the continuum for epitaxial heterostructure superlattices”, Physica B 85, 44-50 (1977).Molina, M. I., Miroshnichenko, A. E. & Kivshar, Y. S. Surface bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 108, 070401 (2012).
2) ССК второго типа были реализованы в массиве связанных оптических волноводовCorrielli, G., Della Valle, G., Crespi, A., Osellame, R. & Longhi, S. Observation of surface states with algebraic localization. Phys. Rev. Lett. 111, 220403 (2013), при этом амплитуда перескока модулируется расстоянием между волноводами. Экспериментально было реализовано состояние с амплитудами
в системе из 40 волноводов. Также, существуют примеры ССК в решетках с PT-симметриейStefano Longhi. Non-Hermitian tight-binding network engineering. Phys. Rev. A 93, 022102Stefano Longhi, "Bound states in the continuum in PT-symmetric optical lattices, " Opt. Lett. 39, 1697—1700 (2014).
3) ССК третьего типа в наблюдаются в волнах на водеMcIver, M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water wave problem. J. Fluid Mech. 315, 257—266 (1996)Kuznetsov, N. & McIver, P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric body. Q. J. Mech. Appl. Math. 50, 565—580 (1997)Porter, R. & Evans, D. V. Water-wave trapping by floating circular cylinders. J. Fluid Mech. 633, 311—325 (2009).Cobelli, P., Pagneux, V., Maurel, A., & Petitjeans, P. (2011). Experimental study on water-wave trapped modes. Journal of Fluid Mechanics, 666, 445—476. doi:10.1017/S0022112010004222. ССК, возникающие при изменении параметров (parameter tuning) 1) Фабри — Перо ССК: Для резонансных структур коэффициент отражения вблизи резонанса может достигать единицы. Две такие структуры можно расположить таким образом, чтобы они излучали в противофазе и компенсировали друг друга.
2) ССК Фридриха — Винтгена(Friedrich-Wintgen)Friedrich, H. & Wintgen, D. Interfering resonances and bound states in the continuum. Phys. Rev. A 32, 3231-3242 (1985): Две моды одинаковой симметрии одной и той же структуры сближаются при изменении параметров структуры, и в какой-то момент возникает антипересечение. При этом на одной из ветвей образуется ССК так как моды как бы компенсируют друг друга, находясь в противофазе и излучая в один и тот же радиационный каналRemacle, F., Munster, M., Pavlov-Verevkin, V. B., & Desouter-Lecomte, M. (1990). Trapping in competitive decay of degenerate states. Physics Letters A, 145(5), 265—268. doi:10.1016/0375-9601(90)90361-q (https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90361-q).
3) Параметрические ССК на одиночном резонансе (Single-resonance parametric BICs): Возникают тогда, когда одну моду можно представить в виде суммы вкладовGao, X., Hsu, C., Zhen, B. et al. Formation mechanism of guided resonances and bound states in the continuum in photonic crystal slabs. Sci Rep 6, 31908 (2016). https://doi.org/10.1038/srep31908, каждый из которых меняется в зависимости от параметров структуры. В какой-то момент происходит деструктивная интерференция всех вкладов. 1) Помимо волн на воде, упомянутых выше, состояния этого типа встречаются во многих системах, например, в системах пар квантовых точек, связанных с волноводом Cattapan, G. & Lotti, P. Bound states in the continuum in two-dimensional serial structures. Eur. Phys. J. B 66, 517–523 (2008)Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Trapping of an electron in the transmission through two quantum dots coupled by a wire. JETP Lett. 82, 498–503 (2005), двойных цепочках из атомов медиDíaz-Tendero, S., Borisov, A. G. & Gauyacq, J.-P. Extraordinary electron propagation length in a metallic double chain supported on a metal surface. Phys. Rev. Lett. 102, 166807 (2009), пар волноводов Z- и П- формы Sadreev, A. F., Maksimov, D. N. & Pilipchuk, A. S. Gate controlled resonant widths in double-bend waveguides: bound states in the continuum. J. Phys. Condens. Matter 27, 295303 (2015). В фотонике состояния реализуются, например, в парах двумерных фотонных кристаллов на основе планарных оптических волноводовSuh, W., Yanik, M. F., Solgaard, O. & Fan, S. Displacement-sensitive photonic crystal structures based on guided resonance in photonic crystal slabs. Appl. Phys. Lett. 82, 1999—2001 (2003), двойных массивах диэлектрических цилиндровNdangali, R. F. & Shabanov, S. V. Electromagnetic bound states in the radiation continuum for periodic double arrays of subwavelength dielectric cylinders. J. Math. Phys. 51, 102901 (2010) и т. п.
2) ССК Фридриха — Винтгена (ФВ ССК) рассматривались в атоме водорода в магнитном полеFriedrich, H. & Wintgen, D. Physical realization of bound states in the continuum. Phys. Rev. A 31, 3964-3966 (1985) и экспериментально проявлялись в подавлении автоионизации атома барияNeukammer, J., Rinneberg, H., Jönsson, G., Cooke, W. E., Hieronymus, H., König, A., Spinger-Bolk, H. (1985). Autoionization Inhibited by Internal Interferences. Physical Review Letters, 55(19), 1979—1982. (https://doi.org/10.1103/physrevlett.55.1979), топологических изоляторах с дефектомSablikov, V. A. & Sukhanov, A. A. Helical bound states in the continuum of the edge states in two dimensional topological insulators. Phys. Lett. A 379, 1775—1779 (2015) и многих других квантовых системахSadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Bound states in the continuum in open quantum billiards with a variable shape. Phys. Rev. B 73, 235342 (2006)Texier, C. Scattering theory on graphs: II. The Friedel sum rule. J. Phys. A 35, 3389 (2002).. Также этот тип ССК встречается в двумерных и трехмерных цилиндрических открытых акустических резонаторахHein, S., Koch, W. & Nannen, L. Trapped modes and Fano resonances in two-dimensional acoustical duct-cavity systems. J. Fluid Mech. 692, 257—287 (2012)Lyapina, A. A., Maksimov, D. N., Pilipchuk, A. S. & Sadreev, A. F. Bound states in the continuum in open acoustic resonators. J. Fluid Mech. 780, 370—387 (2015). В фотонике случайные (accidental) ССК в периодических структурах могут иногда появляться как ФВ ССКBulgakov, E. N., & Maksimov, D. N. (2018). Avoided crossings and bound states in the continuum in low-contrast dielectric gratings. Physical Review A, 98(5). doi:10.1103/physreva.98.053840Lee, S., Kim, S., & Kee, C. (2020). Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices, Nanophotonics, 9(14), 4373-4380. doi: https://doi.org/10.1515/nanoph-2020-0346, также моды такого типа появлялись в брэгговском волноводе при взаимодействии ТЕ и ТМ волн через анизотропную средуPankin, P.S., Wu, BR., Yang, JH. et al. One-dimensional photonic bound states in the continuum. Commun Phys 3, 91 (2020). https://doi.org/10.1038/s42005-020-0353-z. Примечательным примером является теоретическая реализация ССК на слоистой сферической наночастице из специфически подобранных материаловEmbedded Photonic Eigenvalues in 3D Nanostructures. Francesco Monticone and Andrea Alù. Phys. Rev. Lett. 112, 213903 (2014)M. G. Silveirinha, Phys. Rev. A 89, 023813 (2014)., при этом ССК появляются за счет взаимодействия различных дипольных мод одной и той же частицы. По тому же механизму могут быть реализованы высокодобротные состояния и в несферических диэлектрических резонаторахRybin, M. V., Koshelev, K. L., Sadrieva, Z. F., Samusev, K. B., Bogdanov, A. A., Limonov, M. F., & Kivshar, Y. S. (2017). High-Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators. Physical Review Letters, 119(24). (https://doi.org/10.1103/physrevlett.119.243901)K. Koshelev et al., Science 367, 288—292 (2020)., но в этом случае моды состоят из бесконечного числа мультиполейS. Gladyshev, K. Frizyuk, A. Bogdanov Phys. Rev. B 102, 075103 — Published 3 August 2020, а добротность не уходит полностью в бесконечность.