Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.
Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: , а для производной следующим: .
Открытие Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.
Вот аргумент Лейбница: пусть и - две дифференцируемые функции от . Тогда дифференциал от равен:
Поскольку произведение несоизмеримо меньше чем или , Лейбниц пришел к выводу, что:
и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал , то получим:
Формула также может быть записана в нотации Лагранжа:
Вариации и обобщения Многократная производная Для -ой производной существует обобщённая формула Лейбница: где — биномиальные коэффициенты.
Градуированная алгебра Операция на градуированной алгебре удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ,
где — умножение в . Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.
Ассоциативная алгебра В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора По этой причине оператор называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор
Как следствие,
См также Правило умножения (комбинаторика)
Примечания
Категория:Правила дифференцирования