Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных и .

Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика .

История Данное уравнение возникает при решении следующей задачи : найти все числа Мерсенна то есть числа вида , которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид ). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

Выполнив замену получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу, что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений: {| class="wikitable" |- | n || 3 || 4 || 5 || 7 || 15 || () |- | x || 1 || 3 || 5 || 11 || 181 || () |} По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик . В 1948 году другой норвежский математик, , опубликовал доказательствоSkolem, T.; Chowla, S.; and Lewis, D. J. The Diophantine Equation and Related Problems. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 663—669, 1959. .

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля:

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 ().

Вариации и обобщения Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

где — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных . Зигель доказал: количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно; при уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая ; существует бесконечно много значений для которых существуют два решения, например, .

Пример: Уравнение имеет шесть решений: {| class="wikitable" |- | n || 3 || 4 || 5 || 6 || 8 || 15 |- | x || 1 || 11 || 19 || 129|| 61 || 701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

где — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных Уравнение названо в честь французского математика , который в 1850 году исследовал уравнение и доказал, что оно имеет только тривиальные решения:

Из результатов Шори и Тейдемана следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа с и . В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. также Гипотеза Пиллаи: уравнение всегда имеет только конечное число решений.

Примечания

Литература

Ссылки

Категория:Сриниваса Рамануджан Категория:Диофантовы уравнения Категория:Фигурные числа