Теорема Ли

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Формулировка

Пусть есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда имеет инвариантный флаг подпространств ; то есть для каждого и i.

Замечания

Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в такой, что все линейные преобразования задаются верхнетреугольными матрицaми. Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность меньше характеристики поля.

Следствия

Теорема применима к присоединенному представлению (конечномерной) разрешимой алгебры ли . Таким образом, можно выбрать базис в , по отношению которого состоит из верхних треугольных матриц. Из этого следует, что для любых , имеет нулевую диагональ; значит нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра нильпотентна.

Примечания

См. также

Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли. Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.

Категория:Алгебры Ли