Фо́рмула Пла́нка (зако́н Пла́нка) — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.

Формула Формула Планка — выражение для спектральной плотности излучения, создаваемого абсолютно чёрным телом определённой температуры. Встречаются различные формы записи этой формулы.

Энергетическая яркость Формула, выражающая спектральную плотность энергетической яркости, выглядит следующим образом:

где  — частота излучения,  — температура абсолютно чёрного тела,  — постоянная Планка,  — скорость света,  — постоянная Больцмана. В системе СИ величина в этой формуле имеет размерность Вт·м−2·Гц−1·ср−1. Её физический смысл — энергетическая яркость в малом диапазоне частот , делённая на . Можно использовать аналогичную формулу, в которой энергетическая яркость будет функцией длины волны , а не частоты:

.

В этом случае имеет размерность Вт·м−3·ср−1 и соответствует энергетической яркости в малом диапазоне длин волн , делённой на .

Энергетическая светимость (излучательная способность) Спектральная плотность энергетической светимости (спектральная излучательная способность) на частоте или длине волны  — это мощность излучения на единицу площади в интервале частот или длин волн , делённая, соответственно, на или . Её физический смысл — энергетическая светимость в малом диапазоне частот или длин волн , делённая соответственно на или . Она может быть выражена формулами:

,

.

Таким образом, для изотропного излучения, создаваемого абсолютно черным телом, энергетическая светимость (излучательная способность) тела численно в раз больше энергетической яркости, если телесный угол в ней измеряется в стерадианах. Величины и имеют размерности, соответственно, Вт·м−2·Гц−1 и Вт·м−3.

Плотность энергии Ещё одна форма записи описывает спектральную объёмную плотность энергии излучения абсолютно чёрного тела. По аналогии с предыдущими формулами, она равна плотности энергии в малом диапазоне частот или длин волн, делённой на ширину этого диапазона:

,

.

В системе СИ величины и имеют размерности, равные, соответственно, Дж·м−3·Гц−1 и Дж·м−4. Кроме того, спектральная плотность энергии связана со спектральной излучательной способностью соотношением , а со спектральной плотностью энергетической яркости соотношением .

Применимость

Формула Планка применима для излучения, которое находится в тепловом равновесии с веществом при определённой температуре. Она применима для абсолютно чёрных тел любой формы вне зависимости от состава и структуры при условии, что размеры излучающего тела и деталей его поверхности гораздо больше длин волн, на которых тело в основном излучает.

В случае если тело не является абсолютно чёрным, то спектр его равновесного теплового излучения не описывается законом Планка, но связан с ним законом излучения Кирхгофа. Согласно этому закону, отношение излучательной и поглощательной способностей тела одинаково для всех длин волн и зависит только от температуры. Так, например, при одной температуре распределение энергии в спектре абсолютно серого тела будет таким же, как и в спектре абсолютно чёрного, но суммарная энергетическая яркость излучения будет меньше.

Формула Планка также используется и для описания реальных тел, спектр излучения которых отличается от планковского. Для этого вводится понятие эффективной температуры тела: это та температура, при которой абсолютно чёрное тело излучает столько же энергии на единицу площади, что и данное тело. Аналогичным образом определяется яркостная температура, равная температуре абсолютно чёрного тела, излучающего столько же энергии на единицу площади на определённой длине волны, и цветовая температура, равная температуре абсолютно чёрного тела с таким же распределением энергии в определённом участке спектра. Например, для Солнца эффективная температура составляет около а яркостная температура, в зависимости от длины волны, принимает различные значения: на длине волны 1500 Å она достигает минимального значения в а в видимом диапазоне на длине волны составляет около в то время как для абсолютно чёрного тела температуры, определяемые таким образом, совпадают.

История открытия

Предыстория Определение закона теплового излучения представляло интерес с 1859 года, когда Густав Кирхгоф открыл закон излучения Кирхгофа, согласно которому отношение излучательной и поглощательной способностей универсально для всех тел. Следовательно, функция излучения абсолютно чёрного тела, поглощательная способность которого равна единице для всех длин волн, должна совпадать с функцией этого отношения.

К концу XIX века спектр излучения абсолютно чёрного тела уже был известен экспериментально. В 1896 году Вильгельм Вин эмпирически описал его законом излучения Вина, однако получить ни его теоретическое обоснование, ни какой-либо вывод физикам на тот момент не удавалось. Хотя Вин в своей работе приводил обоснование закона, оно было недостаточно строгим, чтобы эта проблема считалась решённой.

Макс Планк был одним из тех, кто пытался теоретически обосновать закон излучения Вина. Он исходил из того, что излучатели являются линейными гармоническими осцилляторами, у которых установилось равновесие между испусканием и поглощением; определив связь между энтропией и энергией осцилляторов, он смог подтвердить закон излучения Вина.

Однако дальнейшие эксперименты показали, что закон излучения Вина неточно описывает спектр теплового излучения в длинноволновой области. В октябре 1900 года Планк представил формулу, которая с точностью до констант совпадала с современным законом Планка. В тот же день было выяснено, что формула хорошо описывает экспериментальные данные, но при этом она не имела под собой теоретической основы. Планк вывел её лишь на основании того, что в предельном случае для коротких волн она должна переходить в закон Вина, но, в отличие от него, согласовываться с экспериментальными данными для длинных волн.

Открытие Менее чем через два месяца после сообщения о получении формулы Планк представил её теоретический вывод на заседании Немецкого физического общества. В нём использовалось соотношение для энтропии, введённое Людвигом Больцманом, в котором рассматривается число возможных микроскопических состояний системы. Планк, чтобы иметь возможность использовать методы комбинаторики и оценить таким образом энтропию, сделал допущение, что полная энергия состоит из целого числа конечных элементов энергии — квантов.

Несмотря на то, что в этом выводе появились кванты и была введена и впервые использована постоянная Планка, ни сам Планк, ни его коллеги не поняли всей глубины открытия. Например, Планк считал, что дискретность энергии не имеет никакого физического смысла и является лишь математическим приёмом. Другие физики также не придали этому значения и не считали, что это предположение противоречит классической физике. Лишь после публикации Хендрика Лоренца в 1908 году научное сообщество пришло к мнению, что кванты действительно имеют физический смысл. Сам Планк впоследствии называл ввод квантов «актом отчаяния», вызванным тем, что «теоретическое объяснение должно быть найдено любой ценой, сколь высокой она ни была бы». Несмотря на всё это, день, когда формула Планка была обоснована, — 14 декабря 1900 года — считается днём рождения квантовой физики.

Пользуясь соображениями классической физики, в 1900 году лорд Рэлей, а в 1905 году Джеймс Джинс вывели закон Рэлея — Джинса. К такому же результату, независимо от них, приходил в своих работах и сам Планк. Вывод этого закона мало отличался от вывода закона Планка (см. ниже), за исключением того, что средняя энергия излучения была принята равной , согласно теореме о равном распределении энергии по степеням свободы. С точки зрения классической физики ход вывода не вызывал сомнений, однако закон Рэлея — Джинса не только серьёзно расходился с экспериментальными данными везде, кроме длинноволновой области, но и предсказывал бесконечно большую мощность излучения на коротких волнах. Этот парадокс указал на то, что в классической физике всё же имеются фундаментальные противоречия, и стал дополнительным аргументом в пользу квантовой гипотезы. Пауль Эренфест в 1911 году впервые назвал его ультрафиолетовой катастрофой.

В 1918 году Макс Планк стал лауреатом Нобелевской премии по физике, и хотя официально он был награждён за открытие квантов, это открытие было тесно связано с выводом закона Планка.

Вывод формулы Планка

Вывод через распределение Больцмана Формула Планка выводится следующим образом.

При выводе рассматривается абсолютно чёрное тело малых размеров с температурой , расположенное внутри куба с ребром длины , внутренние стенки которого идеально отражают излучение. В результате испускание и поглощение света уравновесятся, а излучение будет распределено равномерно по всему внутреннему пространству куба. Внутри куба будет поддерживаться некоторая плотность энергии . Тогда спектральной плотностью энергии будет называться величина , равная плотности энергии на единичный интервал угловых частот вблизи .

При выборе малой площади на поверхности абсолютно чёрного тела можно рассчитать, сколько энергии на неё падает. Плотность энергии, падающей под углом к нормали из телесного угла , равна , так как излучение равномерно распределено по всем направлениям в телесном угле стерадиан. Свет движется со скоростью , а значит, за время на поверхность падает энергия :

.

Суммой энергии, приходящей со всех направлений, будет поток :

.

Такое же количество энергии будет излучать та же единица площади абсолютно чёрного тела, а значит, как для всего потока, так и для любого диапазона частот или длин волн будет справедливо соотношение .

Так как внутри куба одновременно присутствуют и излучаемые, и отражённые волны, поле теплового излучения должно представлять собой их суперпозицию, то есть иметь вид стоячих электромагнитных волн. Для определения их параметров вводятся декартова система координат вдоль рёбер куба и соответствующие орты . Для волны, которая распространяется строго вдоль оси , должно выполняться , где  — натуральное число: то есть полуцелое число волн должно иметь суммарную длину ровно . Волновой вектор такой волны равен , где  — волновое число, ограничение для которого принимает вид .

Для волн, распространяющихся вдоль осей и , рассуждения аналогичны; волну, которая распространяется в любом другом направлении, можно представлять в виде суперпозиции волн, которые распространяются вдоль осей: . Следовательно, , где  — независимые друг от друга натуральные числа либо нули. Тогда волновое число любой волны представляется как , а частота как . Каждой тройке этих параметров соответствует одна стоячая волна.

С помощью безразмерной величины можно определить число стоячих волн частотой не более . Это число равно числу комбинаций , для которых . Тогда можно оценить как восьмую часть объёма шара с радиусом :

где  — пространство, в котором заключено излучение. Так как электромагнитные волны — поперечные, в каждом направлении могут распространяться по две волны, поляризованных взаимно перпендикулярно, и реальное число волн увеличивается ещё в два раза:

.

Если продифференцировать это выражение по частоте, получится число стоячих волн с длинами волн в интервале :

.

Можно взять за среднюю энергию стоячей электромагнитной волны с частотой . Если умножить количество стоячих волн на и разделить полученное значение на и на , получится спектральная плотность энергии излучения:

.