Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию на линейном пространстве . Имеет следующий вид:
Названо в честь Карла Густава Якоби.
Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.
Примеры Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби: Коммутатор операторов коммутатор в алгебре Ли Скобки Ли векторных полей Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии Векторное произведение векторов
Значение в алгебрах Ли Если умножение антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:
Записав тождество Якоби в форме
получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора :
Таким образом, — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.
Тождеству Якоби также можно придать вид
Это означает, что оператор задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.
Градуированное тождество Якоби Пусть — градуированная алгебра, — умножение в ней. Говорят, что умножение в удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов
Примеры алгебра внешних форм; алгебра дифференцирований дифференциальных форм; алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;
Категория:Свойства операций Категория:Группы Ли Категория:Неассоциативные алгебры Категория:Тождества Якоби тождество