Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и . Обозначается:
В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина, комплексного числа Это число определяется по формуле:
Основные свойства С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы.
Вещественные числа Область определения: Область значений: Функция чётная. Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.
Комплексные числа Область определения: вся комплексная плоскость. Область значений: Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
Алгебраические свойства Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения: (sgn — функция знака);
квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:
Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения: модуль любого числа равен либо больше нуля: , причём тогда и только тогда, когда модули противоположных чисел равны: модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: , если знаменатель не равен нулю; (модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых; геометрический смысл выражается неравенством треугольника);
если существует.
История Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].
Обобщение Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
См. также Модуль комплексного числа Модуль вектора Норма вектора Нормирование Нормированное векторное пространство
Примечания
Категория:Элементарные функции Категория:Кусочно-линейные функции Категория:Комплексные числа