Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохраненияThis is sometimes referred to as Noether’s theorem, see Noether’s second theorem.. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.

Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении. Она раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения, что заставило современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметриях физических систем. Обобщение формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно) не применимо к системам, которые нельзя смоделировать с помощью одного лагранжиана (например, к системам с диссипативной функцией Рэлея). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями могут не обладать соответствующим законом сохранения.

Общие сведения

В качестве иллюстрации, если физическая система ведёт себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть она инвариантна), её лагранжиан симметричен относительно непрерывного вращения: из этой симметрии по теореме Нётер следует, что угловой момент системы сохраняется, как следствие его законов движения. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зубчатый астероид, кувыркающийся в космосе, сохраняет момент импульса, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.

В качестве другого примера, если физический процесс приводит к одним и тем же результатам независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения импульса и энергии в пределах этой системы соответственно . 

Теорема Нётер важна потому, что она даёт представление о законах сохранения и как практический вычислительный инструмент. Она позволяет определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, она позволяет рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы. Например, если в предлагаемой физической теории сохраняется величина X, то можно вычислить типы лагранжианов, в которых сохраняется X в согласии с какой-то непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов дают дополнительные критерии для понимания следствий, что позволяет оценить пригодность новой теории. Теорема Нётер настолько сильно включена в структуру квантовой теории поля, что:«… любые результаты, которые, кажется, нарушают эту теорему, могут быть немедленно объявлены как содержащие ошибку вычислений»что позволяет ей выступать в качестве математической модели для многих современных исследований в области физики.

Существует множество версий теоремы Нётер с разной степенью общности. Аналоги этой теоремы естественно распространяются на квантовый случай, где называются тождествами Уорда — Такахаши. Существуют также обобщения теоремы Нётер на суперпространства.

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения: однородности времени соответствует закон сохранения энергии, однородности пространства соответствует закон сохранения импульса, изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса, калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны)В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. — М., Наука, 1988. — с. 168. Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохраненияИбрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М., Наука, 1983. — с. 229.

Неформальная формулировка теоремы Помимо всех технических моментов, теорему Нётер можно сформулировать простым языком:Более сложная версия теоремы с привлечением полей утверждает, что:Слово «симметрия» в приведённом выше утверждении относится более точно к ковариантности формы, которую физический закон принимает по отношению к одномерной группе Ли преобразований, удовлетворяющих определёнными техническими критериями. Закон сохранения физической величины обычно выражается в виде уравнения непрерывности.

Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности для получения выражения для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современной (начиная с 1980 годаThe term «Noether charge» occurs in Seligman, Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City, American Institute of Physics, 1981. It entered wider use during the 1980s, e.g. by G. Takeda in: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne’eman, 1985, p. 196.) терминологии сохраняющаяся величина называется нётеровским зарядом, а поток, несущий этот заряд, называется нётеровским током. Ток Нётер определяется с точностью до соленоидального (бездивергентного) векторного поля.

В контексте теории гравитации формулировка теоремы Нётер Феликсом Клейном для действия I предусматривает инвариантыNina Byers (1998) «E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws» . In Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, held on 2-4 December 1996, at the Bar-Ilan University, Israel, Appendix B.:

Краткая иллюстрация и обзор концепции

Основную идею теоремы Нётер проще всего проиллюстрировать на примере системы с одной координатой и непрерывной симметрией (серые стрелки на схеме). Рассмотрим любую траекторию (выделено жирным шрифтом на диаграмме), которая удовлетворяет законам движения системы. То есть действие этой системой стационарно на этой траектории, то есть не изменяется ни при каком локальном изменении траектории. В частности, оно не изменится при варианте, в котором применяется поток симметрии на временном промежутке [t0, t1] и неподвижен вне его. Чтобы траектория оставалась непрерывной, мы используем «буферные» промежутки с малым временем плавный переход между сегментами.

Полное изменение действия теперь включает изменения, внесённые каждым рассмотренным интервалом. Части, где исчезает сама вариация, не вносят вклад в изменение . Средняя часть также не меняет действия, потому что её трансформация является симметрией и, таким образом, сохраняет лагранжиан и действие . Единственные оставшиеся части — это «буферные» части. Грубо говоря, они вносят свой вклад в основном за счёт своей «косой» .

Это меняет лагранжиан на , который интегрируетсяЭти последние условия, оцениваемые вокруг конечных точек и , должны компенсировать друг друга, чтобы сделать полное изменение в действии равным нулю, как и следовало ожидать, если траектория является решением. То естьчто означает величина сохраняется, что является выводом теоремы Нётер. Например, если чистые трансляции на постоянную являются симметрией, то сохраняющаяся величина становится просто каноническим импульсом .

Более общие случаи следуют той же идее:

Исторический контекст Закон сохранения гласит, что некоторая величина X в математическом описании эволюции системы остаётся постоянной на протяжении всего её движения — это инвариант. Математически скорость изменения X (её производная по времени) равна нулю,

Такие величины называются сохраняющимися; их часто называют константами движения (хотя движение само по себе не обязательно должно происходить, просто эволюционировать во времени). Например, если энергия системы сохраняется, её энергия всегда остаётся неизменной, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в нахождении решении. Помимо понимания, которое такие константы движения дают в природе системы, они являются полезным вычислительным инструментом; например, приближённое решение можно исправить, найдя ближайшее состояние, удовлетворяющее подходящим законам сохранения.

Самыми ранними открытыми константами движения были импульс и кинетическая энергия, которые были предложены в XVII веке Рене Декартом и Готфридом Лейбницем на основе экспериментов по столкновению твёрдых тел и уточнены последующими исследователями. Исаак Ньютон был первым, кто сформулировал закон сохранения импульса в его современной форме и показал, что он следует из третьего закона Ньютона. Согласно общей теории относительности, законы сохранения импульса, энергии и углового момента верны только в глобальном масштабе, если они выражены в терминах суммы тензора энергии-импульса и псевдотензора энергии-импульса Ландау — Лифшица. Локальное сохранение негравитационного линейного импульса и энергии в свободнопадающей системе отсчёта выражается обращением в нуль ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса. Другой важной сохраняющейся величиной, открытой при исследованиях небесной механики, является вектор Лапласа — Рунге — Ленца.

В конце XVIII — начале XIX веков физики разработали более систематические методы открытия инвариантов. Большой прогресс произошёл в 1788 году с развитием лагранжевой механики, связанной с принципом наименьшего действия. При этом подходе состояние системы можно описать любым набором обобщённых координат q; законы движения не обязательно выражать в декартовой системе координат, как это было принято в ньютоновской механике. Действие определяется как интеграл по времени I функции, известной как лагранжиан L

где точка над q означает скорость изменения координат q,

Принцип Гамильтона утверждает, что физическая траектория q(t) — фактически выбранная системой — это путь, для которого бесконечно малые изменения этого пути не вызывают изменения интеграла I, по крайней мере, в первом порядке. Этот принцип приводит к уравнениям Эйлера — Лагранжа,

Таким образом, если одна из координат, скажем, qk, не входит в лагранжиан, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы

где импульс

сохраняется на протяжении всего движения (на физической траектории).

Таким образом, отсутствие игнорируемой координаты qk в лагранжиане означает, что на лагранжиан не влияют изменения или преобразования qk; лагранжиан инвариантен и, как говорят, проявляет симметрию относительно таких преобразований. Это исходная идея, обобщённая в теореме Нётер.

Несколько альтернативных методов нахождения сохраняющихся величин были разработаны в 19 веке. Уильямо Роуэн Гамильтон разработал теорию канонических преобразований, которая позволяла изменять координаты так, чтобы некоторые координаты исчезали из лагранжиана, как указано выше, что приводило к сохранению канонических импульсов. Другим подходом, и, возможно, наиболее эффективным для нахождения сохраняющихся величин, является уравнение Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Первая теорема Нётер Если интеграл действия инвариантен по отношению к некоторой -параметрической конечной группе Ли , то линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность по