Астро́ида (от — звезда и — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .
История Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.
Уравнения Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
Параметрическое уравнение:Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмём уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтём R=4r и получим наши уравнения.
Подерное уравнение:
Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:
Свойства
Имеются четыре каспа. Длина дуги от точки с 0 до
Длина всей кривой . Радиус кривизны:
Площадь, ограниченная кривой:
Объём тела вращения относительно любой координатной оси:
Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых. Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°. Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен
Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.
Примечания
Литература Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
Категория:Алгебраические кривые