Аси́мптота, или асимпто́таДвойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: ) указывался единственный вариант ударения «Асимпто́та». В Большой Российской энциклопедии и в последнем издании Русского орфографического словаря Лопатина указан иной и также единственный вариант: Аси́мптота. (от — несовпадающая, не касающаяся) кривой с бесконечной ветвью, — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.
Виды асимптот графиков
Вертикальная Прямая вида является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
. Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида , если выполняется хотя бы одно из равенств:
. При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при , а если второе, то асимптотой при .
Если , то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при и одна при ; но асимптота может быть и одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности«Asymptotes» by Louis A. Talman.
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности.
Обыкновенная и оскулирующая Обыкновенная асимптота имеет с кривой на бесконечности касание первого порядка, оскулирующая асимптота — касание второго порядка. Эти асимптоты кубик отличаются друг от друга следующими свойствами: обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке; оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.
Нахождение асимптот
Порядок нахождения асимптот Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть ). Проверка, не являются ли конечными пределы и. Если да, то существует горизонтальная асимптота при и соответственно. Нахождение двух пределов Нахождение двух пределов . Если хотя бы один из пределов в пунктах 3 или 4 не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция .
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: .
При , ,
и является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства Среди невырожденных конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.
См. также Асимптотическая кривая
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Кривые Категория:Аналитическая геометрия