Периодическая последовательность — это последовательность, элементы которой начинают повторяться в том же порядке после достижения некоторого , то есть:
Число повторяющихся элементов называется периодом.
Определение Периодическая последовательность (с периодом ), или -периодическая последовательность, — это последовательность , удовлетворяющая соотношению для всех значений . Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее , для которого периодическая последовательность -периодична, называется её наименьшим периодом.
Примеры Любая постоянная функция 1-периодична.
Последовательность периодична с наименьшим периодом 2.
Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:
Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже).
Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:
Последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.
Периодическая точка для функции — это точка , которой
является периодической последовательностью. Здесь означает -кратную композицию функции , применённую к . Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества имеет периодическую точку. Нахождение цикла для поиска такой точки является алгоритмической задачей.
Тождества Частичные суммы , где и являются натуральными числами. Частичные произведения , где и являются натуральными числами.
Периодические 0, 1 последовательности
Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:
— последовательность с периодом .
Обобщения Последовательность в конечном итоге периодическая. Если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа в конечном итоге периодична:
Последовательность асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность , для которой
Например, последовательность
асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности
Примечания
Литература
Категория:Ряды и последовательности