Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.
Уравнения
Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид
где ― коэффициенты второй квадратичной формы, ― символы Кристоффеля.
Свойства Теорема Бонне. Пусть и , — две гладкие квадратичные формы, заданные в односвязной области . Если и удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци (включая уравнение Гаусса), тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в , для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами. Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.
История Уравнения впервые найдены ПетерсономPeterson, K. M. «Über die Biegung der Flächen.» Dorpat. Kandidatenschrift. 1853. в 1853, переоткрыты МайнардиMainardi, G. «Sulle coordinate curvilinee d’una superfice dello spazio.» Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856. и Кодацци (1867)Codazzi, D. «Sulle coordinate curvilinee d’una superficie dello spazio.» Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869..
Вариации и обобщения
Известен вариант уравнений для гиперповерхносей в пространствах старших размерностей, а также для произвольных коразмерностей.M. Dajczer and R. Tojeiro. Submanifold theory. Universitext. Beyond an introduction. Springer, New York, 2019
Примечания
Литература Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей