Множество Данцера — множество точек евклидова пространства, которое пересекается с любым выпуклым телом единичного объёма. Людвиг Данцер задал вопрос о возможности такого множества ограниченной плотности. Некоторые варианты задачи остаются нерешёнными.
Плотность Один из способов формальной постановки задачи — рассматривать скорость роста множества в -мерном евклидовом пространстве, определяемым как функция, отображающая вещественные числа в точки , находящиеся на расстоянии от начала координат. Вопрос Данцера — может ли множество Данцера, выражанное в нотации О-большого, иметь скорость роста ? Если да, то в этом случае она будет равна скорости роста множеств вполне разнесённых точек, подобных целочисленной решётке (которая не является множеством Данцера).
Можно построить множество Данцера со скоростью роста в пределах полулогарифмического коэффициента . Например, при наложении прямоугольных сеток, ячейки которых имеют постоянный объём, но различные , можно достичь скорости роста . Известны построения множеств Данцера с чуть меньшей скоростью роста , но вопрос Данцера остаётся открытым.
Ограниченное покрытие Другой вариант задачи, предложенный Тимоти Гауэрсом, спрашивает, существует ли множество Данцера , для которого существует конечная граница на число точек пересечения и любого выпуклого тела единичного объёма. Этот вариант был решён — такое множество Данцера невозможно.
Разделение Третьим вариантом задачи, который остаётся нерешённым, является задача Конвея о мёртвых мухах. Джон Конвей вспоминал, что будучи ребёнком, он спал в комнате с обоями, на которых цветы напоминали кучу мёртвых мух, и он пытался найти выпуклую область, которая не содержала мух. В формулировке Конвея вопрос состоит в том, существует ли множество Данцера, в котором точки множества (мёртвые мухи) отделены друг от друга на ограниченное расстояние.
Такое множество обязательно будет иметь верхнюю границу расстояний от каждой точки плоскости до мёртвой мухи (ведь это множество пересекается с каждым кругом единичной площади). Иначе говоря, оно должно образовать множество Делоне, множество, имеющее как ненулевую нижнюю границу, так и конечную границу расстояний между точками. Это множество обязательно будет иметь скорость роста , так что если оно существует, то оно должно решать и изначальный вариант вопроса Данцера. Конвей предложил приз в $1000 за решение задачи, как часть набора задач, в который входят также задача Конвея о 99-вершинном графе, анализ и гипотеза о трекле.
Дополнительные свойства Множества Данцера не могут быть объединением конечного множества решёток, образованными выбором точки из каждой плитки подстановки (в той же позиции для каждой плитки того же типа) и не могут быть сгенерированы методом вырежь-и-спроецируй построения апериодичных мозаик. В частности, вершины мозаики «Вертушка» и мозаики Пенроуза не являются множествами Данцера.
См. также на множестве точек, которые не имеют малой площади. Теорема Минковского, что любое замкнутое выпуклое тело единичного объёма с центом симметрии в начале координат содержит ненулевое число точек полу-целочисленной решётки.
Примечания
Литература
. См. также .
Категория:Выпуклый анализ Категория:Метрическая геометрия