Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе . Параметр определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
История
Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где и принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (, ).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Уравнения В прямоугольной системе по определению:
В полярной системе:
Параметрическое уравнение в прямоугольной системе: , где .
Часто рассматривают повёрнутую на кривую. Её уравнения выглядят так: В прямоугольной системе: , где
Параметрическое:
В полярных координатах:
Вывод уравнений повёрнутой кривойСистему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении:
Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
, или
,
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: .
Вводим параметр , последнее уравнение перепишется так:
или . Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:
Подставив в уравнение предыдущее , получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: .
Решая данное выражение относительно , получаем:
.
Свойства Прямая — ось симметрии, её уравнение: . Точка A называется вершиной, её координаты .
Для обеих ветвей существует асимптота , её уравнение: . Вывод уравнения асимптотыДля повёрнутого декартового листа: При имеем или , Рассматриваем второй случай: , то есть, , то есть , значит .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: , следовательно, .
После поворота осей на получаем окончательное уравнение
Площадь области между дугами и Нахождение площади Площадь , заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: , где .
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: .
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
или
Первый интеграл из этого уравнения: . Подстановка: . Пределы интегрирования: .
Интеграл преобразуется к виду:
.
Второй интеграл:
Подстановка: . Пределы интегрирования: . Интеграл преобразуется к виду:
.
Итак: .
Площадь равна .
Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли . Нахождение площади Площадь , заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь ; интеграл берётся в пределах от 0 до .
Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. , то есть, площади и равны между собой.
Объём тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс Нахождение объёма вращенияОбъём () тела, образованного при вращении дуги вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
.
Итак:
.
Объём () тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от до . Этот интеграл равен бесконечности, то есть .
Исследование кривой При имеем или , или , то есть .
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: .
Производная Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
. Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим: . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге — точка и минимум на нижней дуге — точка . Значение функции в этих точках равно: .
Значение производной y’ в точке равно , то есть касательные в точке взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .
См. также Овал Декарта
Ссылки
Категория:Алгебраические кривые Категория:Рене Декарт