Ра́зность двух мно́жеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств и обозначается как , но иногда можно встретить обозначение и .
Пусть и — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):
Когда , множество часто называют дополнением множества до множества .
Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его дополнение до множества — множество , при обозначении которого часто опускается значок универсума: ; при этом говорится, что — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).
С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества до множества есть пересечение множества и дополнения множества .
Также применяется и операторная запись вида , или (если опустить универсальное множество) , , .
Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.
Примеры Пусть . Тогда Пусть — множество всех вещественных чисел, — множество рациональных чисел, а — множество целых чисел. Тогда — множество всех иррациональных чисел, а — дробных.
Свойства Пусть — произвольные множества. Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:
Свойства пустого множества относительно разности:
Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
Разность не пересекается с вычитаемым:
Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:
, если . Если и , то Если , то для любого выполняется . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если , то для любого справедливо .
Компьютерные реализации В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.
В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором −, обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.
В языке программирования Python операция реализована с помощью метода difference над объектом типа set.
Дополнение множества
Определение Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума , то определяется операция дополнения:
Свойства Операция дополнения является унарной операцией на булеане . Законы дополнения:
В частности, если оба и непусты, то является разбиением .
Операция дополнения является инволюцией:
Законы де Моргана:
Законы разности множеств:
Кодировка Графема Название Юникод HTML LaTeX ∁ COMPLEMENT U+2201 ∁ \complement
См. также Операции над множествами
Литература
Примечания
Категория:Теория множеств Категория:Операции над множествами Категория:Алгебраические операции (теория множеств)