В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:
где . Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.
Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо. Операторное (лаксово) представление для уравнения КП, лежащее в основе его интегрируемости методом обратной задачи рассеяния, впервые получено В. С. Дрюмой в 1974 году, незадолго до того, как метод обратной задачи для двумерных уравнений был развит В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом в том же году. Оно также может быть решено с помощью , как и нелинейное уравнение Шрёдингера
История
Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.
Связь с физикой Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется ; если же поверхностное натяжение сильное, то . Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).
Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах, а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
Ограниченность Для , типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны , что даёт сингулярный предельный режим в виде . Предел называется пределом.
Если мы также предположим, что решения не зависят от y при , то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:
Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа .
См. также
Примечания
Литература . Translation of
Ссылки
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Солитоны