Релятивистская квантовая механика (РКМ) — раздел квантовой физики, в котором рассматриваются релятивистские квантовые законы движения микрочастиц в одночастичном приближении. Более обще, это любая ковариантная формулировка квантовой механики (КМ). Эта теория применима к массивным частицам, движущимися со всеми скоростями, вплоть до сравнимых со скоростью света c, и к безмассовым частицам. Теория применяется в физике высоких энергий, физике элементарных частиц и физике ускорителей, а также в атомной физике, квантовой химии и физике конденсированного состояния. Нерелятивистская квантовая механика в математической формулировке квантовой механики, применяется в контексте теории относительности Галилея, в частности, к квантованию уравнений классической механики путём замены динамических переменных операторами. Релятивистская квантовая механика — это квантовая механика, применяемая совместно со специальной теорией относительности (СТО). Хотя более ранние формулировки, такие как представления Шрёдингера и Гейзенберга, изначально были сформулированы в нерелятивистской форме, некоторые из них (например, формализм Дирака или фейнмановский интеграл по траекториям) также учитывают СТО.
Ключевые особенности, общие для всех РКМ, включают: предсказание существования античастиц, спиновые магнитные моменты элементарных частиц со спином , тонкую структуру и квантовую динамику заряженных частиц в электромагнитных полях. Основным результатом теории является уравнение Дирака, из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями, нужно искусственно вводить дополнительные слагаемые в оператор Гамильтона.
Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является релятивистская квантовая теория поля (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля. Уникальным следствием КТП в сравнении с другими РКМ, которое экспериментально подтвердили является нарушение сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи.
В этой статье уравнения написаны в знакомых обозначениях трёхмерного векторного исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где можно использовать компоненты пространства и времени, также используются тензорные индексы (часто используется в литературе), кроме того, используется правило суммирования Эйнштейна. Здесь используются распространённые в литературе единицы СИ; единицы Гаусса и натуральные единицы. Все уравнения даны в координатном представлении; а для импульсного представления нужно использовать преобразование Фурье см. координатное и импульсное пространства.
Объединение специальной теории относительности и квантовой механики Один из подходов для расширения квантовой механики на релятивистские системы состоит в том, чтобы изменить представление Шредингера, чтобы оно соответствовало СТО.
Один из постулатов квантовой механики состоит в том, что эволюция во времени любой квантовой системы задаётся уравнением Шрёдингера:
с помощью подходящего оператора Гамильтона , описывающего квантовую систему. Решение этого уравнения представляет собой комплекснозначную волновую функцию , зависящую от трёхмерного радиус-вектора частицы в момент времени , описывает поведение системы.
Каждая частица обладает неотрицательным спиновым квантовым числом . Число — целое число, нечётное для фермионов и чётное для бозонов. Для каждого существует квантовых чисел — проекций на ось z; Другие распространённые обозначения включают ms и sz, но это будет мешать выражениям с ненужными подстрочными обозначениями. Индексы σ не следует путать с тензорными индексами и матрицами Паули.. Это дополнительная дискретная переменная, которая выступает дополнительным параметром волновой функции: .
Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов Паули, Крониг, Уленбек и Гаудсмит первыми предложили концепцию спина. Добавление спина в волновую функцию позволяет учитывать принцип запрета Паули (1925 г.) и более общую теорему о связи спина со статистикой (1939 г.), доказанную Маркусом Фирцем и заново выведенную Паули годом позже. Он объяснил многие явления в физике субатомных частиц: от электронных конфигураций атомов, ядер и, следовательно, всех элементов периодической таблицы и их химии, до конфигураций кварков и цветового заряда (свойства барионов и мезонов).
Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение между энергией и импульсом для частицы с массой покоя в заданной системе отсчета с энергией и трёхмерным импульсом , выраженным скалярным произведением :
Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса, которые задаются в виде:
построить релятивистское волновое уравнение: дифференциальное уравнение в частных производных, согласующееся с релятивистским соотношением между энергией и импульсом частицы, которое решается относительно для предсказания её квантовой динамики. Чтобы пространство и время были равноправны в уравнении, как в теории относительности, порядки частных производных по координатам и времени должны быть одинаковыми и в идеале как можно более низкими, чтобы не нужно было указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, приведённых ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый.
Представление Гейзенберга — это ещё одна формулировка квантовой механики, когда волновая функция не зависит от времени, а зависимость от времени перенесена на операторы и определяется уравнением движения:
Это уравнение верно и в РКМ, при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы для согласования с СТО.
В 1926 году Шрёдингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было подтверждено Дираком с использованием теории преобразований.
Более современный подход к РКМ, впервые появившийся во время её распространения на частицы с любым спином, заключается в применении представлений группы Лоренца.
Пространство и время В классической механике и нерелятивистской квантовой механике время — это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «тикающая» на заднем плане независимо от точки пространства. Таким образом, в нерелятивистской квантовой механике для системы многих частиц .
В релятивистской механике пространственные координаты и временная координата не являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять различные координаты и время событий. Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырёхмерный пространственно-временной вектор соответствующий событию, а энергия и 3-мпульс естественным образом объединяются в четыре импульс движущейся частицы, измеренным в некоторой системе отсчёта, преобразуются в соответствии с преобразованием Лоренца, когда кто-то измеряет в другой системе отсчёта бусты и/или вращение относительно исходной рассматриваемой системы отсчёта. Операторы производных, а значит, операторы энергии и 3-мпульса также не инвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.
При правильном ортохронном преобразовании Лоренца в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния локально преобразуются при некотором представлении группы Лоренца; ; :
где — конечномерное (матричное) представление, квадратная матрица размерности . Опять же, рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с допустимыми значениями . Квантовые числа и , а также другие индексы, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение может встречаться более одного раза в зависимости от представления.
Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы Классический гамильтониан для частицы в потенциале описывается суммой кинетической энергии и потенциальной энергии с соответствующим квантовым оператором в представлении Шрёдингера (координатном):
а его подстановка в приведённое выше уравнение Шрёдингера приводит к нерелятивистскому уравнению квантовой механики для волновой функции. Эта процедура представляет собой прямую замену первоначального выражения для полной энергии. Напротив, в РКМ это не так просто; уравнение для связи энергии и импульса является квадратичным по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Прямая подстановка:
не помогает по нескольким причинам. Простого правила извлечения квадратного корня из операторов не существует. Его нужно было бы разложить в ряд по степеням, прежде чем оператор импульса, возведённый в степень в каждом члене, мог бы действовать на . В такой постановки задачи степенной ряд производных по координатам и времени полностью асимметричны: производные по пространственным координатам бесконечного порядка, но производные по времени только первого порядка, что некрасиво и громоздко. Опять возникает проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьёзная, состоит в том, что можно показать, что она нелокальна и может даже нарушать причинно-следственную связь: если частица первоначально локализована в точке , так что конечна и равна нулю в любом другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию: везде, даже для , что означает, что частица может достичь точки до того, как это сможет сделать световой сигнал. Это должно исправляться наложением дополнительного ограничения .
Существует также проблема учёта спина в гамильтониане, что не предсказывается в нерелятивистской теории Шредингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, равный в квантованный единицах , магнетону Бора:
где — (спиновый) g-фактор частицы, а — спиновый оператор, поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями. Для частицы во внешнем магнитном поле член взаимодействия вида
необходимо добавить к приведённому выше нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения связи энергии и импульса.
Релятивистские гамильтонианы аналогичны нерелятивистским в квантовой механике в следующем отношении; есть условия, включающие массу покоя и условия взаимодействия с внешними полями, подобные классическому слагаемому соответствующему потенциальной энергии, а также слагаемые с импульсом, такие как классический вклад кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат спиновые операторы в виде матриц, в которых умножение матриц выполняется по спиновому индексу , поэтому в общем случае релятивистский гамильтониан:
является функцией пространства, времени и операторов импульса и спина.
Уравнения Клейна — Гордона и Дирака для свободных частиц Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение релятивистской энергии и импульса может на первый взгляд показаться привлекательной, чтобы получить уравнение Клейна — Гордона:
и в таком виде было открыто многими людьми из-за простого способа его получения, в частности Шрёдингером в 1925 году, прежде чем он нашёл нерелятивистское уравнение, названное в его честь, и Клейном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные взаимодействия. Это уравнение релятивистски инвариантно, но само по себе оно не является достаточным основанием для РКМ по нескольким причинам; одна состоит в том, что существуют состояния с отрицательной энергией являющимися решениями, другая — это плотность вероятности (приведённая ниже), а также то, что это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно представить в виде:
где и — не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы размера 4 × 4, для которых выполняются условия антикоммутивности для :
и их квадрат равен единичной матрице: