Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос.
Определение Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.
Обозначим символами образующие Артина группы кос из нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или -положительной), если она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом входит в него только в положительных степенях. Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или -отрицательные).
Например, коса допускает запись , поэтому является положительной по Деорнуа.
По определению порядка Деорнуа, коса из нитей меньше косы из того же числа нитей, что обозначается символом или , если либо , либо произведение косы , обратной к косе , и косы является положительной по Деорнуа. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: или .
Например, для любой положительной по Деорнуа косы выполняется следующая цепочка неравенств:
.
Кроме того, в группе кос выполняются неравенства:
Свойства Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа нитей является положительным конусом на группе кос . Иными словами, выполняются следующие свойства: Любая -положительная коса нетривиальна (ацикличность); Любая нетривиальная коса является либо -положительной, либо -отрицательной (свойство сравнения).
Таким образом, для каждого числа нитей отношение является левоинвариантным линейным порядком на группе .
Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.
Глобальные свойства Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементов. Так, из неравенств для любой косы следуют неравенства .
Коса является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы . Таким образом, упорядоченное множество является дискретным. А именно, непосредственным преемником косы является коса , а непосредственным предшественником — коса .
При упорядоченная группа не является архимедовой. Иными словами, существуют такие , что неравенство выполняется для любого . Например, .
При упорядоченная группа не является конрадовой. Иными словами, существуют такие , что неравенство выполняется для любого . Например, данное неравенство выполняется при и .
Локальные свойства Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантным. Так, неравенство не обязательно влечет неравенство . Например, в группе при и имеем и .
Последнее неравенство также эквивалентно неравенству . В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.
При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подслова, которое заключается в том, что все косы вида положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство . В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.
Неравенство не обязательно влечет неравенство . Например, в группе при и обе косы и являются положительными по Деорнуа.
Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком Деорнуа. Так, существует такая коса , содержащая хотя бы одну букву и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого коса , допускающая запись из хотя бы букв , строго меньше (в порядке Деорнуа) косы , содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является .
Антье Деорнуа Отсутствие при свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос означает, что существует такая коса , что попарно непересекающиеся интервалы
,
где , не покрывают всю группу . Тем не менее, если — центральная коса, то подобные интервалы образуют разбиение группы кос.
Такое единственное , что выполняется неравенство
,
называется антье Деорнуа косы и обозначается символами или .
Антье Деорнуа задаёт функцию и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых выполняются неравенства:
.
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория кос Категория:Теория упорядоченных групп