Примечание: всюду в данной статье, где используется знак имеется в виду (кратный) интеграл Римана , если не оговорено обратное; всюду в данной статье, где говорится об измеримости множества, имеется в виду измеримость по Жордану, если не оговорено обратное.
Определение Пусть - измеримое (по Жордану) множество. Разбиение множества - это любой набор измеримых множеств, пересекающихся лишь по границам и . Выберем точки - получили - разбиение с отмеченными точками.
Пусть функция определена на , тогда интегральной суммой называется .
Функция интегрируема по Риману в кратном смысле на и - её интеграл, если : для любого отмеченного разбиения с и диаметром выполняется неравенство . Обозначается интеграл от функции на измеримом множестве : .
Некоторые свойства кратного интеграла Римана Если функция интегрируема по Риману на измеримом множестве , то , что функция ограничена на множестве , где - внутренность . (См. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности). Если функция интегрируема по Риману на измеримом множестве , функция определена на и на для некоторого , то интегрируема по Риману на и . Линейность. Если (ограничена и интегрируема по Риману на ), то функция и . Если , то и . Следует из свойств интеграла как предела по базе. Аддитивность по множествам. Если и , то и, если , то . Первая часть следует из критерия Лебега. Интегрируемость по подмножеству. Если , - измеримое по Жордану подмножество , то . Следует из критерия Лебега. Если , то . Следует из критерия Лебега. Если , функция непрерывна на отрезке . Следует из критерия Лебега. Если , и изменить на множестве , то измененная функция , при условии её ограниченности на , также интегрируема по Риману на и . Если и на , то . Следует из свойств интеграла как предела по базе. Если , то и . Если , на и - внутренняя точка и точка непрерывности , то .
Теоремы Критерий интегрируемости Дарбу.
Ограниченная функция на измеримом множестве интегрируема по Риману , и в случае равенства: , где и - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу. Критерий интегрируемости Лебега. Ограниченная на измеримом множестве интегрируема по Риману непрерывна почти всюду на . Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана. Теорема 1. Пусть - измеримое множество в . Тогда измеримость по Жордану множества характеристическая функция интегрируема по Риману на , и в случае измеримости выполняется равенство: . Теорема 2. Пусть - измеримое множество в , функция на . Пусть множество . Тогда интегрируемость по Риману ограниченной функции на множестве множество измеримо по Жордану в . При этом в случае измеримости выполняется равенство: . Следствие. Ограниченная на измеримом множестве функция интегрируема по Риману на множества и измеримы по Жордану в . И в случае их измеримости выполняется равенство: . Теоремы о сведении кратных интегралов Римана в повторным. Теорема. Пусть функция , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Пусть , для каждого , обозначим через и нижний и верхний интегралы Дарбу от по на . Тогда и интегрируемы по Риману на и . Следствие 1. Пусть , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Пусть , такая функция на , что , где и - соответственно нижний и верхний интегралы Дарбу от при фиксированном по на . Тогда функция интегрируема по Риману на и . Следствие 2. Пусть , где - брус, являющийся произведением промежутков: . Если , функция интегрируема по Риману на , то её интеграл интегрируем по Риману на и Следствие 3. Пусть . Обозначим через - проекцию множества на что . Для обозначим через - сечение множества . Предположим, что и все - измеримые по Жордану множества в и соответственно, причём для каждого функция . Тогда интегрируем на и .
См. также Кратный интеграл Несобственный кратный интеграл Римана Одномерный интеграл Римана Интеграл Римана — Стилтьеса Интеграл Лебега Интеграл Мак-Шейна Интеграл Курцвейля — Хенстока Теорема Фубини Формула Ньютона — Лейбница Интеграл Даниэля
Категория:Интегральное исчисление Категория:Интегралы