Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Интерполяционная формула Лагранжа
Функция может быть интерполирована на отрезке интерполяционным многочленом , записанным в форме Лагранжа:
при этом ошибка интерполирования функции многочленом :
В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:
Интерполяционная формула Ньютона
Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:
Здесь , а — конечная разность порядка . Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:
где — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений.
Интерполяционная формула Стирлинга Если использовать набор узлов , где , то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга:
Здесь , а — центральная конечная разность порядка .
Интерполяционная формула Бесселя Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид
Эта формула особенно удобна для интерполирования при , так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению , то есть интерполяции «на середину».
См. также Интерполяция Интерполяционная формула Гаусса Эрмитова интерполяция Сплайн
Примечания
Литература
Ссылки [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]
Категория:Интерполяция Категория:Математический анализ