Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, формулирующая достаточные условия единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.
Формулировка Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение , где - независимая скалярная переменная, - вектор,, - векторная функция вектора и скаляра , знак означает производную по .
Если все функции , для любой пары точек и в области удовлетворяют условию:
(1),
где непрерывная функция при такова, что когда , то через каждую точку области проходит не более одной интегральной кривой уравнения .
Пояснения Областью называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами: Каждая точка есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G. Множество связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри .
В качестве функций могут использоваться функции , , , и т.п. Наиболее часто в этой теореме принимают . В этом случае условие (1) принимает вид условия Липшица по :
,
Известны обобщения этой теоремыО. Л. Любопытнова, Б. Н. Садовский, “К теореме Осгуда о единственности решения задачи Коши” , Дифференц. уравнения, 38:8 (2002), 1135–1136; Differ. Equ., 38:8 (2002), 1213–1215.
См. также Теорема Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
Примечания
Литература
единственности единственность