Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.
Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУВ.И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: МЦНМО, 2018. — ISBN 978-5-4439-1254-7 — c. 102-103И.Н. Сергеев Дифференциальные уравнения. — М.: МГУ, 2023. — ISBN 978-5-19-011829-2 — c. 157-189Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. — , Наука, 1970. — с. 178—195И. Г. Петровский Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — , Наука, 1970. — с. 82-86, учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузовП. И. Лизоркин Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — , Наука, 1981. — с. 56-59 и других университетских учебниках и монографияхЖ. Дьедонне Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964. — c. 341-345В. К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2011. — c. 135-145. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.. Известны многочисленные обобщения этой теоремы.
На теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров основан использующийся во всех приложениях теории дифференциальных уравнений метод приближённого решения уравнений, близких к уравнениям, для которых решение известно точно (теория возмущений).
Формулировка Система обыкновенных дифференциальных уравнений
где — независимая скалярная переменная, — вектор, — вектор, , — векторная функция вектора , вектора и скаляра , знак означает производную по .
Если все функции , и все их частные производные до -го порядка по всем и непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка находится в области , а , где — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки области можно указать такой интервал , заключающий внутри себя точку , что при всех рассматриваемых на нём существует одна и только одна система функций
которые удовлетворяют системе (), имеют непрерывные производные до -го порядка по всем и при обращаются в . Эта теорема остаётся верной и для , если функции удовлетворяют условию Липшица по с коэффициентом, не зависящим от .
Пояснения Областью называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами: Каждая точка есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G. Множество связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри .
Примечания
Литература
зависимость зависимость