Дразина обратная матрица — обобщение понятия обратной матрицы, предложенное .
Пусть A — квадратная матрица. Под индексом матрицы A понимают наименьшее неотрицательное целое k, такое, что rank (Ak+1) = rank(Ak). Матрица, обратная по Дразину для матрицы A — это единственная матрица AD, удовлетворяющая условиям
Эта матрица не является псевдообратной в классическом смысле, поскольку в общем случае .
Свойства
Если матрица A обратима и её обратная обозначена , то . Матрица, обратная по Дразину, инвариантна по отношению к сопряжению. Если — матрица, обратная по Дразину для матрицы , то матрица — обратная по Дразину для матрицы . Проектор P, определённый как матрица, такая, что P2 = P, имеет индекс 1 (или 0), Для него матрица, обратная по Дразину, имеет вид PD = P. Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига), то
Жорданова нормальная форма
Поскольку определение матрицы, обратной по Дразину, инвариантно относительно матричных сопряжений, записываемых как , где J — Жорданова нормальная форма, то . Матрица, обратная по Дразину, таким образом отображает обратимые Жордановы клетки в им обратные, а нильпотентные Жордановы клетки — в нулевые.
Литература
Ссылки Drazin inverse
Категория:Матрицы Категория:Линейная алгебра