Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела.

Основные обозначения и уравнения движения

Общий случай Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки . Пусть  — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса , ,, а  — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса , , на оси подвижной системы отсчёта имеют вид , , , а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как . Если  — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях,  — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид

.

Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера. Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона

, , ,

описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.

Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения.

Случай потенциальных сил В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом , момент сил, действующих на тело, имеет вид

.

Законы сохранения

Интеграл площадей Пусть  — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что

,

то сохраняется величина

,

представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором . Эту величину называют интегралом площадей.

Геометрические интегралы Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов

,

,

выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими.

Интеграл энергии Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: , уравнения движения допускают интеграл энергии

Случаи интегрируемости

Случай Эйлера Если , то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии

и интегралом

выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.

Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как случай Эйлера, сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта.

Примечания

Литература А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.

Категория:Механика твёрдого тела