Спектральная мера - это отображение, определённое на -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.
Определение Пусть — измеримое пространство, — гильбертово пространство, — множество всех ортогональных проекторов в .
Отображение называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:
Счетная аддитивность: если - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств и , то - Полнота:
Здесь под - и - понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, - означает, что . Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем -.
С каждой спектральной мерой можно связать скалярные меры , . По определению . Легко видеть, что мера положительна для любого .
Свойства спектральной меры , - последовательность измеримых множеств. Коммутативность: . Ортогональность: если , то . Монотонность: если , то . Если последовательность - расширяющаяся, то -. Если последовательность - вложенная, то -. Интеграл по спектральной мере Пусть - пространство со спектральной мерой.
Случай ограниченной функции - множество всех -измеримых простых функций на .
- разложение пространства на непересекающиеся подмножества, на которых функция постоянна и - значение функции на .
Интегралом от функции по спектральной мере называется оператор .
Свойства: для любых . Этим свойством оператор определяется однозначно. . . . . -.
- множество всех -измеримых, -ограниченных комплексных функций на . Продолжим отображение с нормированной алгебры на всей банаховой алгебры .
Интегралом от функции по спектральной мере называется значение продолженного отображения на функции -, где - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к по норме в .
Теорема. Отображение есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры с единицей и инволюцией на некоторую коммутативную подалгебру алгебры с единицей и инволюцией .
Следствия: Оператор нормален. Оператор самосопряжен -п.в. функция вещественна. Оператор унитарен -п.в. функция . Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:
Теорема. Пусть последовательность -ограниченных функций почти всюду сходится к функции . Если найдется такая константа , что почти всюду для любого , то .
Случай неограниченной функции - пространство всех -измеримых, -п.в. конечных функций на .
Каждой функции и каждому сопоставим срезку , определенную как , где - характеристическая функция множества . Интегралом от по спектральной мере назовем оператор , определенный как предел последовательности . Более точно, областью определения оператора служит множество таких , что последовательность сходится, а значением - предел этой последовательности.
Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора положим множество . Для каждого найдется единственный удовлетворяющий равенству для всех , который по определению служит значением .
Свойства: . . . . . . Оператор замкнут и нормален. . . Спектральная теорема фон Неймана
Спектральная теорема для унитарного оператора Теорема. Пусть - унитарный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определенная на борелевских подмножествах единичной окружности такая, что . Спектральная теорема для самосопряжённого оператора Теорема. Пусть - самосопряженный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определённая на борелевских подмножествах в такая, что . Спектральная теорема для нормального оператора Теорема. Пусть - нормальный оператор в , тогда существует единственная спектральная мера в , определенная на борелевских подмножествах в такая, что .
Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве Уравнение Шредингера: с начальным условием , где - самосопряженный оператор. Решением будет , где , - спектральная мера оператора . Параболическое уравнение: с начальным условием , где - самосопряженный положительный оператор. Решением будет , где , - спектральная мера оператора .
Литература
См. также Спектральная теорема
Категория:Функциональный анализ