Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.
Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.
Формулировка Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция голоморфна в , и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:
Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.
Доказательство Рассмотрим окружность достаточно малого радиуса с центром в точке .
В области, ограниченной контурами и (то есть состоящей из точек области за исключением точек внутри ), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от имеем равенство
Для расчёта интегралов по применим параметризацию .
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая :
Воспользуемся ею для доказательства общего случая:
Так как функция комплексно дифференцируема в точке , то
Интеграл от равен нулю:
Интеграл от члена может быть сделан сколь угодно малым при . Но поскольку он от вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что
Следствия Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:
Аналитичность голоморфных функций В окрестности любой точки из области, где функция голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:
причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке , в котором функция голоморфна, а коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:
Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов функций, голоморфных в круге :
где — максимум модуля функции на окружности , а из них — теорема Лиувилля: если функция целая (то есть голоморфная во всей комплексной плоскости) и ограничена, она есть постоянная.
Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы
получается интегральное представление производных функции :
Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области , если это семейство равномерно ограничено в . В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в к некоторой голоморфной функции равномерно.
Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях Если функция голоморфна в области вида , то в ней она представима суммой ряда Лорана:
причём коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:
а сам ряд Лорана сходится в к функции равномерно на каждом компакте из .
Формула для коэффициента часто применяется для вычисления интегралов от функции по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.
Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.
Теоремы о среднем для голоморфных функций Если функция голоморфна в круге , тогда для каждого
а также если — круг радиуса с центром в , тогда
Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция голоморфна в области и внутри её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.
Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция голоморфна в области и внутри её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.
Теоремы о единственности Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата: лемма Шварца: если функция голоморфна в круге , и для всех точек из этого круга , тогда всюду в этом круге ; теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке , совпадают в некоторой окрестности этой точки; теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции , голоморфной в области имеют предельную точку внутри , тогда функция равна нулю всюду в .
Ссылки
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews
Литература
Категория:Комплексный анализ Коши