Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.
Формулировка
Пусть функция аналитична в точке и . Тогда в некоторой окрестности точки обратная к ней функция представима рядом вида
Применения Ряд Бюрмана — Лагранжа
Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции по степеням другой голоморфной функции и представляет собой обобщение ряда Тейлора.
Пусть и голоморфны в окрестности некоторой точки , притом и — простой нуль функции . Теперь выберем некую область , в которой и голоморфны, а однолистна в . Тогда имеет место разложение вида:
где коэффициенты вычисляются по следующему выражению:
Теорема об обращении рядов Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.
Рассмотрим разложение вида . Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда :
Обобщения В условиях теоремы для суперпозиции вида справедливо представление в виде ряда
Литература
Ссылки
Bürmann-Lagrange series
Категория:Комплексный анализ Лагранжа об обращении рядов