Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) — безарбитражная стохастическая однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счёт переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учётом начальной рыночной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).
Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.
Математическая модель Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:
где — функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени
Модель записывают иногда и в следующем виде:
В такой записи более очевидным становится, что в предельном случае модели Халла-Уайта когда получаем модель Хо-Ли:
Модель Халла-Уйата соответствует требованию безарбитражности HJM. Соответствующая волатильность мгновенной форвардной ставки равна и модель мгновенной форвардной ставки в собственной форвардной мере имеет вид:
.
Решение Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:
Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:
Обобщённая модель Халла-Уайта Обобщённая модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров и представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:
где
Эта модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности
Специальное представление модели В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния , удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению
а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом
, где функция , где
при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:
Дисконтные облигации и кривая доходности Если в вышеприведённой форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует, что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:
где
где — значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учётом фактической кривой в этот момент времени) для сроков
Эти формулы можно записать и в терминах доходностей следующим образом:
Динамика стоимости дисконтной облигации в риск-нейтральной мере в рамках модели Халла-Уайта описывается следующим уравнением:
Можно показать, что динамика цены форвардной облигации в -форвардной мере имеет вид:
то есть это процесс без дрифта (как минимум локальный мартингал) с процессом волатильности, равным
Оценка процентных опционов
Опцион на бескупонную облигацию Колл- (пут-) опцион на дисконтную облигацию с датой погашения дает право его покупки (продажи) в момент экспирации по зафиксированной в момент заключения договора цене (страйк опциона). Рыночная цена облигации в момент экспирации равна . Тогда стоимость такого опциона в момент будет равна
Учитывая, что , то из приведенного выше уравнения динамики цены форвардной облигации в форвардной мере следует, что такой опцион можно оценить по логнормальной формуле оценки стоимости опционов (формула типа Блэка):
где
Оценка классического (форвард-лукинг) кэплета/флорлета Форвард-лукинг кэплет/флорлет (номер i в рамках кэпа/флора в целом) предполагает фиксацию ставки на период опциона в начале этого периода, причём срочность ставки совпадает со срочностью кэплета/флорлета. Формула оценки стоимости является логнормальной (типа Блэка), но с заменой «страйка» и «форвардной ставки»:
Здесь и далее z равен 1 для кэплета и −1 для флорлета. При стремлении a к нулю (модель Хо-Ли) функция стремится к , поэтому а стремится к : как в классических формулах стоимости опционов (Блэка и Башелье).
Вышеуказанная формула для кэплета (флорлета) эквивалентна формуле для опциона-пут (соответственно — колл) на бескупонную облигацию с номиналом и страйком . Можно показать исходя из того, что (в итоге получим формулу для опциона на дисконтную облигации с -z вместо z, что означает, что кэплету соответствует опцион-пут, а флорлету — опцион колл.
Это соответствие между кэплетами/флорлетами и опционами на дисконтные облигации выполняется независимо от модели динамики процентной ставки. А именно, путем несложных арифметических преобразований и применяя процедуру замены меры c -форвардной на -форвардную меру можно показать, что выполнено равенство:
Оценка бэкворд-лукинг кэплета/флорлета Бэкворд-лукинг кэплет/флорлет предполагает фиксацию ставки на период опциона в конце этого периода, путём начисления накопленных процентов по рыночным овернайт-ставкам процентного периода. Для упрощения обычно такое начисление заменяется непрерывным начислением. При этом теоретически возможны два случая — сложное начисление и арифметическое (азиатский опцион).
Бэкворд-лукинг опцион со сложным начислением овернайт-ставки Формула оценки такого кэплета/флорлета аналогична форвард-лукинг случаю (типа Блэка, логнормальная формула), за исключением значения , которое в данном случае определяется следующим образом:
Такая запись относительно простая, однако не совсем наглядна разница со случаем форвард-лукинг, поэтому эту формулу также можно записать в следующем виде, в котором видна прибавка к форвард-лукинг случаю:
В такой записи видно, что здесь «дисперсия» больше, чем в форвард-лукинг случае. Функция стремится к 1 при стремлении к 0. Можно показать, что при (на практике в основном и часто ) функция достаточно точно. При стремлении к нулю (модель Хо-Ли) стремится к 1, и получим следующую формулу
Арифметический (азиатский) опцион В случае арифметического (азиатского) опциона (то есть бэкворд-лукинг опцион с арифметическим накоплением по овернайт ставке) используется та же величина , что и в предыдущем случае, однако формула оценки опциона иная (типа Башелье, «нормальная» формула) исходя из упрощения, заключающего в замене овернайт-ставки на непрерывную, которая имеет нормальное распределение в рамках данной модели:
Здесь — это примерное значение арифметического накопления форвардных ставок (если овернайт ставки заменить непрерывными форвардными ставками, а суммирование — интегралом). А величина — это так называемая корректировка на выпуклость (convexity adjustment), связанная с тем, что математическое ожидание арифметического накопления в форвардной мере не в точности равно накопленным форвардным ставкам. В данном случае корректировка является точной, если считать, что начисление процентов происходит непрерывно. На практике начисление дискретное, поэтому вместо логарифма можно использовать точное значение накопленных форвардных ставок. Можно также точнее оценить дисперсию и корректировку на выпуклость, однако, формула стоимости опциона все равно будет приблизительной в этом случае, так как распределение такой накопленной суммы уже немного отличается от нормального распределения. Тем не менее для практических целей это будет достаточно точная формула.
Оценка свопционов
См. также Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки Модель Васичека Модель Кокса-Ингерсола-Росса Модель HJM
Категория:Финансовая математика Категория:Процентные ставки