В математике кулоновская волновая функция — это решение уравнения для кулоновских функций, названного в честь Шарля Огюстена де Кулона. Кулоновские функции используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах или комплексного аргумента.
Уравнение для кулоновских функций Уравнение для кулоновских функций для заряженной частицы массы представляет собой уравнение Шрёдингера в кулоновском потенциале
где — произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда, для атома водорода), — постоянная тонкой структуры и — энергия частицы. Решение данного уравнения (т. е. сами кулоновские функции) можно найти, решая уравнение в параболических координатах
В зависимости от граничных условий решение принимает различный вид. В частности, решениями уравнения являются функции
где — , , а — гамма-функция. Здесь использованы граничные условия
соответствующие ориентированным вдоль вектора плосковолновым асимптотическим состояниям, которые отвечают соответственно моментам до и после приближения частицы к источнику поля в начале координат. Функции связаны между собой соотношением
Разложение по парциальным волнам Волновую функцию можно разложить по парциальным волнам, при этом мы получим не зависящие от угла радиальные функции . Здесь и далее .
Каждый конкретный член разложения можно получить, найдя скалярное произведение волновой функции со сферической функцией, т. е.
Уравнение для парциальной волны можно получить, записав гамильтониан в уравнении для кулоновских функций в сферических координатах и проецируя уравнение на сферическую функцию
Решения данного уравнения называются кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Если положить , то уравнение для кулоновских функций превратится в , поэтому кулоновские функции могут быть записаны в терминах функций Уиттекера с мнимыми аргументами и . Последнюю функцию можно выразить через и . Для определим функции
где
называется кулоновской фазой рассеяния. Также можно определить действительные функции
В частности,
Асимптотическое поведение кулоновских функций , и при больших
где
Решения соответствуют расходящейся и сходящейся сферическим волнам. Решения and являются действительными и называются регулярной и нерегулярной кулоновскими функциями. Справедливо следующее разложение волновой функции по парциальным волнам
Свойства кулоновских функций Радиальные функции с заданным угловым моментом ортогональны. При выборе нормировки на волновое число радиальные функции континуума удовлетворяют
Другими часто встречающимися нормировками является нормировка на приведённое волновое число (-scale)
и также нормировка на энергию
Радиальные функции, определённые в предыдущем разделе, нормированы следующим образом
как следствие нормировки
Кулоновские функции континуума (или рассеяния) также ортогональны по отношению ко всем связанным кулоновским состояниям
так как являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора (гамильтониана), имеющими разные собственные значения.
Литература .
.
Примечания
Категория:Специальные функции