Свойство Дарбу́ — свойство вещественнозначной функции на отрезке , согласно которому образ отрезка есть отрезок: найдутся такие , что .
Выполнение свойства Дарбу для непрерывных функций непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении и теоремы Вейрштрасса — непрерывный образ отрезка всегда есть отрезок. Дарбу установил, что этому свойству могут удовлетворять не только непрерывные функции (теорема Дарбу): если функция дифференцируема в каждой точке отрезка , то и производная на этом отрезке обладает свойством Дарбу (даже если эта производная разрывна).
Возможны и другие случаи, когда разрывные функции обладают свойством Дарбу, например, таков , задаваемый с разрывом в нуле: .
Пример , обладающей свойством Дарбу, — .
Монотонная на заданном отрезке функция обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна на нём.
Теорема Серпинского: любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.
Строгое свойство Дарбу: образ всякого непустого открытого интервала — вся вещественная прямая: . Тринадцатеричная функция Конвея удовлетворяет также и строгому свойству.
Примечания
Литература
Дарбу