Конхоидное преобразование

Конхо́идное преобразова́ние (, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки.

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Уравнения конхоидного преобразования Если координаты исходной точки в полярной системе координат то координаты преобразованной то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи):

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ), а постоянная величина приращения радим-вектора — модулем конхоиды. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды.

Конхоидные преобразования с фиксированным полюсом и направлением образуют: точки вещественной прямой с координатами ; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования: композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование:

преобразование, обратное конхоидному преобразованию , есть конхоидное преобразование :

Конхоидные преобразования только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости с координатами и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции.

На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху):

где — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости

Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид:

где — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства (см. рисунок справа вверху).

На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды (см. рисунок справа вверху):

а с произвольным полюсом — более сложный параметрический вид:

Конхоидное преобразование кривых Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрис, или базисов. В этом случае его уравнение могут записать в виде

где — уравнение директрисы. и говорить о ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы к координатам соответствующим точкам — максимальному количеству точек пересечения директрисы с произвольной прямой . Обычно рассматривают случаи с .

Например, конхоида Никомеда как конхоида прямой и улитка Паскаля как конхоида окружности с полюсом на окружности относятся к случаю а конхоида конхоиды — вторая конхоида — и конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю

При конхоида совпадает со своей директрисой, а при — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса.

При угол выбирается по непрерывности конхоиды.

Конхоиды с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют (если ветвей несколько, то берётся нужная): точки вещественной прямой с координатами ; коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования:

Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые

директриса называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой первоначальной директрисой не может быть «меньше» минимальной конхоиды: для любой первой конхоиды минимальной директрисы

две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой)

совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой.

Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля.

Общее конхоидное преобразование

В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа):

где — полюс; — модуль; — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования и действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): коллинеарны.

Конхоидные преобразования , действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют: точки вещественной прямой с координатами ; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел.

Два произвольных конхоидных преобразования и эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

Конхоидные преобразования одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости с координатами и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число:

другими словами, конхоидные преобразования с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойства.

Конхоидное преобразование в многомерном пространстве Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки декартового пространства имеет следующий вид:

где — полюс; — модуль; — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования и действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): коллинеарны.

Конхоидные преобразования , действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют: точки вещественной прямой с координатами ; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения вещественных чисел.

Два конхоидных преобразования и эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

Конхоидные преобразования одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественного пространства с координатами

и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор:

другими словами, конхоидное преобразование с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов , то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойства.

Примечания

Источники

Категория:Кривые