Аньезиа́на ( — кривая Аньези) (частный случай — верзие́ра) — гиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе.
В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности
с радиусом и полюсом в начале координат на окружности и прямой , имеющий следующее уравнение:
или
или
Полагают, что : при аньезиана вырождается в ось абсцисс.
Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка.
Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами: неограниченная; имеет одну асимптоту. связная; имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат; особых точек нет; имеет одну ось симметрии.
Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы.
Своё название аньезиана получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей частный случай этой кривой — верзиеру — в 1748 году. Ранее верзиеру изучали Пьер Ферма в 1630 году и Гвидо Гранди в 1703 году.
Определения аньезианы Определение и уравнение Аньезиа́на ( — кривая Аньези) — гиперболизм окружности, ограниченный тем, что его полюс расположен на этой окружности, и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсе. Эта окружность называется образующей, или производящей. Точка образующей окружности, диаметрально противоположная полюсу, называется вершиной аньезианы.
В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности
с радиусом ограниченный тем, что его полюс расположен на окружности, куда удобно поместить также и начало координат, и произвольной прямой . Такой гиперболизм окружности записывается уравнением, полученным из уравнения окружности:
или
или
Полагают, что , поскольку при аньезиана вырождается в прямую — ось абсцисс.
Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядка.
Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами: неограниченная; имеет одну асимптоту. связная; имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат; особых точек нет; имеет одну ось симметрии.
Приведённое выше уравнение аньезианы в декартовой системе координат
(с площадью области, ограниченной кривой и асимптотой ) может быть записано по-другому: в сокращённой форме:
где — диаметр базовой окружности гиперболизма (и площадью ); с изменённым параметром (и площадью ):
Все уравнения, рассмотренные выше, имеют вертикальную ось симметрии (совпадающую с оью ординат) и асимптоту , расположенную снизу от кривой. Но асимптоту можно расположить на графике и сверху, записав уравнение аньезианы в следующей форме:
У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью ординат. У следующих уравнений ось симметрии аньезианы совпадает с осью абсцисс: асимптота расположена слева от кривой:
асимптота расположена справа от кривой:
Частные случаи
Верзиера (локон Аньези) — частный случай аньезианы при со следующим уравнением:
Псевдоверзиера — частный случай аньезианы при со следующим уравнением:
Поскольку уравнение верзиеры можно записать в виде
а уравнение псевдоверзиеры в виде
то псевдоверзиера получается удвоением ординат верзиеры, если другими словами, если диаметр образующей окружности верзиеры равен радиусу образующей окружности псевдоверзиеры.
Вывод уравнения и геометрическое построение Получить аньезиану путём гиперболизма базовой окружности радиуса с началом координат на этой окружности и базовой прямой , перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат можно двумя способами: исходя из уравнения образующей окружности:
исходя из преобразования гиперболизма:
Получаем, что преобразование гиперболизма окружности: сохраняет ординату изменяет абсциссу пропорционально абсциссе и обратно пропорционально ординате с постоянным коэффициентом
Выясним роль образующих окружности и прямой, построив аньезиану геометрически (см. рисунок справа): выберем внутри диаметра образующей окружности произвольную точку с ординатой , которая будет также и ординатой аньезианы; проведём прямую , которая пересечётся с образующей окружностью в точке на которой будет расположена точка аньезианы; проведём образующую прямую ; проведём прямую через начало координат, которая пересечётся с образующей прямой в точке ; проведём прямую через точку , которая пересечётся с прямой в точке — точке аньезианы.
Так как полюс находится на окружности, то иногда при построении аньезианы вместо окружности используют её точку , диаметрально противоположную полюсу. При этом точка есть основание перпендикуляра, опущенного из точки на произвольную прямую, проходящую через полюс (см. рисунок справа).
Получим уравнение аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения: пусть уравнение прямой есть , где — некоторый угловой коэффициент; тогда декартовы координаты точки , лежащей на окружности, будут
а точки —
наконец, координаты точки получаются
откуда уравнение аньезианы есть
Другой способ получения уравнения аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения: имеет место пропорция
имеет место соотношение
тогда
то есть
Из подобных треугольников 0yP и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования гиперболизма, которое зависит только от образующей прямой и не зависит от образующей кривой:
Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианы.
Уравнение в других координатных системах Для перевода уравнения кривой из декартовой в полярную систему координат (и обратно) используют соотношения
поэтому уравнение аньезианы будет следующим:
или
В параметрическом виде уравнение аньезианы на вещественной декартовой плоскости
может быть таким:
где
или таким:
где
или таким:
где
или таким:
где
Из декартовых параметрических уравнений
можно получить в параметрическом виде уравнение аньезианы в полярных координатах:
Виды аньезиан В этом разделе аньезианы определяются уравнением
Точки перегиба и максимум
Вычислим вторую производную функции, задающей аньезиану:
В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующего уравнения:
Получаем следующие точки перегиба аньезианы (см. рисунок справа):
лежащие на прямой
Точки экстремума удовлетворяют уравнению
поэтому аньезиана имеет единственный максимум в точке на образующей окружности — вершину.
Пересечение с образующей окружностью
Аньезиана
всегда пересекается с образующей окружностью
в точке вершины и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения образующей прямой с образующей окружностью.
Найдём эти две точки. Для этого уравнение аньезианы
подставим в уравнение образующей окружности
получим:
Итак, две искомые точки задаются уравнением
при условии
то есть это точки
В итоге аньезианы по точкам пересечения с образующей окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа): при имеем три точки пересечения: и для пограничной верзиеры с две предыдущие точки пересечения сливаются с «тройной» точкой при имеем одну обычную точку пересечения
Примечания
Источники
Категория:Алгебраические кривые