В элементарной математике, следующее неравенство известно как неравенство Седракяна, неравенство Бергстрема, форма Энгеля или лемма Титу соответственно, отсылая к статье «О приложениях одного полезного неравенства» , опубликованной в 1997 году, к книге «Стратегии решения задач». Артура Энгеля, опубликованной в 1998 году, и книге «Сокровища математических олимпиад» Титу Андрееску, опубликованной в 2003 году. Это прямое следствие неравенства Коши-Буняковского-Шварца. В своей статье (1997) Седракян заметил, что это неравенство может быть использовано как метод математического доказательства и имеет очень полезные новые применения. В книге «Алгебраические неравенства» (Седракян) дано несколько обобщений этого неравенства.
Формулировка неравенства Для любых вещественных и положительных чисел верно:
(Наири Седракян (1997), Артур Энгель (1998), Титу Андрееску (2003))
Вероятностное утверждение Подобно неравенству Коши-Шварца, неравенство Седракяна можно обобщить на случайную величину . В этой формулировке пусть — действительная случайная величина, и пусть — положительная случайная переменная. X и Y не обязательно должны быть независимыми, но мы предполагаем, что и определены. Тогда
Прямые приложения Пример 1. Неравенство Несбитта.
Для положительных действительных чисел
Пример 2. Международная математическая олимпиада (ИМО) 1995 г.
Для положительных действительных чисел , где выполняется:
Пример 3.
Для положительных действительных чисел имеем
Пример 4.
Для положительных действительных чисел верно
Доказательства Пример 1.
Доказательство: Используем и , тогда:
Пример 2.
Имеем
Пример 3.
Верно , так что
Пример 4.
У нас есть
Ссылки и примечания
Категория:Вероятностные неравенства Категория:Математический анализ Категория:Теория операторов Категория:Линейная алгебра Категория:Неравенства