Преобразование Фолди — Ваутхайзена (представление Фолди — Ваутхайзена, преобразование ФВ, преобразование FW) — унитарное преобразование, которое позволяет представить уравнение Дирака (для биспиноров) в виде пары двухкомпонентных уравнений (спиноров), которые в нерелятивистском пределе переходят в уравнение Паули и уравнение для отрицательных энергий. В представлении ФВ соотношения между операторами динамических величин аналогичны соотношениям для классических величин (координаты, испульсы, скорости). Имело историческое значение, применялось для решения парадоксов, возникающих в теории Дирака, и интерпретации операторов координаты, скорости, спина, момента импульса.
Было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхайзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака, уравнения для частиц со спином 1/2. Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди — Ваутхайзена при интерпретации частиц, описываемых релятивистскими волновыми уравнениями, содержится в статье Р. Ачарье и Дж. Сударшана (1960). Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.
Уравнение Дирака
Уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2 записывают в виде (здесь и далее скорость света приравнена к 1)
где — эрмитовы матрицы Дирака размера 4 × 4, которые должны антикоммуритовать , , а квадрат каждой из матриц должен быть равен 1. В теории Дирака операторы трёх компонент оператора импульса , гамильтониана , оператора спина , полного углового момента , чётности имеют хорошую физическую интерпретацию, однако операторы орбитального момента и компоненты оператора спина не являются интегралами движения. Последние сохраняются по отдельности только в нерелятивистском пределе. Причина такого поведения относится к интерференции состояний с положительной и отрицательной энергиями. Другими величинами, которые имеют сложности интерпретации в одночастичном картине являются, координата, скорость. Для уравнения Дирака скорость частицы описывается операторами и может принимать только два значения . То есть отсутствует аналогия между операторами скорости и импульса, которые должны наблюдаться в нерелятивистском пределе согласно принципу соответствия. Фолди и Ваутхайзен предложили решение этого несоответствия путём выбора нового представления уравнения Дирака, в котором уравнение представляет собой две системы уравнений с положительной и отрицательной энергиями, и которые дают уравнение Паули в нерелятистском пределе и частицу с отрицательной энергией.
ля покоящейся частицы , поэтому оператор определяет знак энергии и гамильтониан диагонален по спинорам. Для того чтобы оператор отвечал за знак энергии для свободной движущейся частицы нужно использовать другое представление, которое исключало бы нечётные операторы, которые смешивают спиноры, из гамильтониана. Такое представление было найдено , С. Тани (), Фолди и Ваутхайзеном, которые использовали каноническое преобразование для частицы со спином 1/2. Теперь оно известно как преобразование Фолди — Ваутхайзена. Краткий отчёт об истории представления можно найти в некрологах Фолди и Ваутхайзена и биографических мемуарах Фолди . До их работы существовала некоторая трудность в понимании и выборе всех членов, отвечающих за взаимодействия заданного порядка малости, например, для частицы Дирака во внешнем поле. Благодаря их методу физическая интерпретация операторов в гамильтониане стала ясной, и появилась возможность систематически применять их метод к ранее не поддающихся решению задач. Преобразование Фолди — Ваутхайзена было распространено на физически важные случаи частиц со спином 0 и спином 1, и обобщено на случай частиц с произвольным спином.
Описание Преобразование Фолди — Ваутхайзена (ФВ) представляет собой унитарное преобразование фермионной волновой функции вида
где унитарный оператор — это 4 × 4 матрица
где — единичная матрица, — единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона. Вышеупомянутое связано с матрицами Дирака соотношениями и , где . Простое разложение в ряд с применением свойств коммутативности матриц Дирака показывает, что верно утверждение () выше. Обратное преобразование равно
поэтому , где — 4 × 4 единичная матрица.
Преобразование гамильтониана Дирака для свободного фермиона Это преобразование представляет особый интерес применительно к гамильтониану Дирака со свободными частицами
— биунитарно, в виде
Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение удвоенного угла
которое после сокращений приводится к виду
Выбор конкретного представления: Ньютон — Вигнер Преобразование ФВ является непрерывным, то есть можно использовать любое значение по своему выбору. Теперь возникает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для , что равносильно выбору конкретного вида представления. Если выбрать
так что () сводится к диагонализованному (это предполагает, что берётся в представлении Дирака — Паули (Поля Дирака, Вольфганга Паули), в котором это матрица диагональна)
После тригонометрических преобразований, () также подразумевает, что
так что использование () в () теперь приводит к следующему сокращению
До того, как Фолди и Ваутхайзен опубликовали своё преобразование, уже было известно, что () является гамильтонианом в представлении Ньютона — Вигнера (НВ) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера) уравнения Дирака. Таким образом, () говорит о том, что, применяя преобразование ФВ к представлению Дирака — Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования так, чтобы диагонализировать гамильтониан, то можно прийти к НВ-представлению уравнения Дирака, потому что НВ само уже содержит гамильтониан, указанный в ().
Если рассматривать массу на оболочке — фермионную или иную — заданную выражением и использовать метрический тензор Минковского, для которого , то выражение
эквивалентно компоненте 4-импульса , так что () альтернативно определяется как .
Соответствие между представлениями Дирака — Паули и Ньютона — Вигнера для покоящегося фермиона Пусть фермион покоится, что означает фермион, для которого . Для () или () это означает, что , так что , а для () — что унитарный оператор . Следовательно, любой оператор в представлении Дирака — Паули, над которым выполняется биунитарное преобразование, для покоящегося фермиона будет иметь вид
В отличие от исходного гамильтониана Дирака — Паули
с гамильтонианом НВ () находится «в покое» соответствует
Преобразование оператора скорости
В представлении Дирака — Паули
Для получения оператора скорости в представлении Дирака — Паули необходимо вычислить коммутатор канонических операторов координат с гамильтонианом
Подставляя гамильтониан в явном виде и используя канонические коммутационные соотношения получается
Собственные значения оператора равны ±1, что соответствует собственным значениям операторов компонент скорости света , хотя в действительности скорость может принимать любые значения в промежутке от до . Операторы также не коммутируют между собой, что означает принципиальную невозможность одновременно измерить две любые компоненты скорости. Кроме того, в представлении Дирака — Паули, для понятий скорости и импульса отсутствуют обычные, аналогичные существующим в релятивистской классической механике связи между операторами скорости и импульса. А именно, вышеприведённое соотношение не принимает нерелятивистский аналог выражения для скорости Отличие понятий скорости и импульса в теории Дирака непосредственно связаны с интерференцией состояний с различными знаками энергии.
Полное решение уравнения Дирака для свободной частицы представляет собой линейную суперпозицию состояний с разными знаками энергии . Для состояния в виде суперпозиции двух стационарных состояний с одинаковыми квантовыми числами, но с разными знаками энергии
где и — амплитуды, а решения и — ортогональны. Ток вероятности зависит от времени
где
определяет колебательное движение, известное как «дрожащее движение». Это слагаемое осложняет одночастичную интерпретацию полученного результата, что физически означает влияние эффектов рождения виртуальных (и реальных) электронно-дырочных пар при приближении к электрону на расстояние меньше чем комптоновский радиус.
В представлении Ньютона — Вигнера Теперь в представлении Ньютона — Вигнера можно вычислить оператор координаты . Для выбранного оператора преобразования Фолди — Ваутхайзена в виде
оператор коорднинаты представляется в виде
где используется определение коммутатора
Вычисления дают следующее выражение
которое можно разбить на два оператора. Первые два слагаемые в () отвечают за чётную часть оператора и соответствует оператору «среднего положения». Последние слагаемые отвечают за дрожащее движение и нечётную часть оператора. В нерелятивистском пределеле оператор среднего положения соответствует обычной координате. Возможно выбрать координату в представлении Паули — Дирака таким образом, чтобы он принял вид
который обладает следующими свойствами:
Скорость или производная этого оператора по времени определяется соглавно
+ Операторы динамических переменных в старом и новом представлениях Динамическая переменная Операторы в старом представлении Операторы в новом представлении Положение Импульс Гамильтониан Скорость Орбитальный угловой момент Спиновый угловой момент Среднее положение Средняя скорость Средний орбитальный угловой момент Средний спиновый угловой момент Знаковый оператор
Другие приложения Преобразование Фолди — Ваутхайзена, первоначально разработанное для уравнения Дирака, нашло применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика. Оно нашло применение в самых разных областях, таких как атомные системы синхротронное излучение и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков. Применение преобразования Фолди — Ваутхайзена в акустике весьма естественно; учитывает полноту и математическую строгость.
В традиционной схеме цель разложения оптического гамильтониана
в ряд с использованием в качестве параметра разложения следует понимать распространение квазипараксиального луча с точки зрения ряда приближений (параксиальных и непараксиальных). Аналогично обстоит дело и в оптике заряженных частиц. В релятивистской квантовой механике возникает аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (первого порядка по времени) это удобнее всего делать с помощью преобразования Фолди — Ваутхайзена, приводящего к итерационному методу диагонализации. Основной метод недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основан на методе преобразования теории Фолди — Ваутхайзена, который приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и частицей Дирака. прикладное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.
В теории Фолди — Ваутхайзена уравнение Дирака посредством канонического преобразования разделяется на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать матричное представление уравнений Максвелла в стиле Дирака. В такой матричной форме можно применить метод Фолди — ВаутхайзенаMajorana, E. (1974). Unpublished notes, quoted in .
Существует тесная алгебраическая аналогия между уравнением Гельмгольца (определяющим скалярную оптику) и уравнением Клейна — Гордона; и между матричной формой уравнений Максвелла (определяющих векторную оптику) и уравнением Дирака. Поэтому вполне естественно использовать мощный аппарат стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди — Ваутхайзена) при анализе этих систем.