Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция непрерывна на отрезке и  — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция интегрируема и имеет первообразную на отрезке , — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная , дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или ).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция определена на отрезке за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция называется обобщённой первообразной , если она: Непрерывна на отрезке Во всех точках , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна . Это определение не требует, чтобы производная равнялась во всех точках, где дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть определена на везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке , — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен. Причина ошибки: функции не является первообразной (даже обобщённой) для функции на отрезке просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно не зависит от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега Функция представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции . Функция является абсолютно непрерывной.

Теорема (Лебега): абсолютно непрерывна на отрезке тогда и только тогда, когда существует суммируемая на функция такая, что при любом значении x от a до b.

Из этой теоремы вытекает, что если функция абсолютно непрерывна на , то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству: , где .

Некоторые следствия В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу интегрирования по частям, формулу замены переменных, а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу.

Формула интегрирования по частям Пусть и — абсолютно непрерывные функции на отрезке . Тогда: .

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница.

Формула замены переменных Теорема. О замене переменной в определенном интеграле. Рассмотрим монотонную абсолютно непрерывную функцию на отрезке , причём . Если — любая функции, интегрируемая по Лебегу на отрезке , то новая функция интегрируема на и, кроме того, справедлива следующая формула:

Эта теорема справедлива и для следующих промежутков:

Разложение Лебега Теорема. Рассмотрим неубывающую непрерывную слева функцию на отрезке . Такую функцию можно разложить следующим образом: , где: — абсолютно непрерывная неубывающая функция; — неубывающая непрерывная слева функция, причём почти всюду ; , где: — непрерывная неубывающая функция; — непрерывная слева неубывающая функция скачков, то есть , причём

Вариации и обобщения

Теорема Стокса Дискретная теорема Грина

См. также Основная теорема алгебры Основная теорема арифметики

Примечания

Источники

Литература

Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.

Ньютона — Лейбница Категория:Исаак Ньютон Ньютона — Лейбница Категория:Основные теоремы