Диффеото́п (от , образованного словослиянием — «дифференциал» и — «многообразие») — вторичное многообразие, то есть многообразие всех формальных решений дифференциального уравнения. Вообще говоря, бесконечномерное многообразие с дополнительной структурой (контактной структурой бесконечного порядка) — интегрируемым распределением , которое локально эквивалентно бесконечному продолжению дифференциального уравнения . Причём при локальности «функции склейки» должны сохранять соответствующие распределения.
Размерность диффеотопа — это размерность распределения . Размерность диффеотопа не равна «обычной» размерности многообразия , обычно бесконечной.
Понятие диффеотопа отражает концепцию общих систем дифференциальных уравнений в частных производных (обычно нелинейных) по аналогии с тем, как понятие аффинного алгебраического многообразия отражает концепцию общих систем алгебраических уравнений.
Предварительные сведения Пример. Проективный диффеотоп. Рассмотрим гладкое -мерное многообразие и множество пар , где , а — класс подмногообразий размерности , проходящих через точку и касающихся друг друга с порядком . Из конструкции пространств , (пространств -джетов расслоения ) следует, что: множества наделены естественной структурой гладкого многообразия; существуют естественные проекции ; обратный предел данных проекций — пространство — наделено естественным интегрируемым распределением; пространство : локально имеет вид для некоторого -мерного расслоения над -мерным многообразием; есть диффеотоп размерности .
Диффеотоп — естественное обобщение понятия бесконечно продолженного уравнения, которое возникает при: факторизации, рассмотрении нелокальных симметрий, в других ситуациях.
На произвольные диффеотопы переносятся, буквально или в модифицированном виде, все естественные конструкции геометрической теории дифференциальных уравнений.
Структура диффеотопа позволяет развить на нём определённую версию дифференциального исчисления, называемую вторичным исчислением. Различные естественные свойства диффеотопа и соответствующей ему системы дифференциальных уравнений раскрываются в терминах вторичного исчисления, и наоборот.
Диффеотоп есть объект категории дифференциальных уравнений. Морфизмами этой категории являются гладкие отображения, которые сохраняют распределения.
Накрытие в категории дифференциальных уравнений — локальный изоморфизм .
-нелокальная симметрия для в категории дифференциальных уравнений — симметрия объекта . Нелокальные симметрии типа составляют алгебру Ли, которая совпадает с .
Паутина — категория, образованная всеми накрытиями данного диффеотопа. Из неё следует ряд следствий, важных для вторичного исчисления. Диффеотоп — аналог аффинного многообразия в алгебраической геометрии, паутина — аналог поля рациональных функций на аффинном многообразии.
Вторичное дифференциальное исчисление, то есть дифференциальное исчисление на диффеотопах, определяет: истинную когомологическую природу теории дифференциальных уравнений; новые направления дальнейшего развития этой теории.
Историческая справка
Данный исторический экскурс свидетельствует об удивительном единстве дифференциальной математики — в противовес следующему замечанию немецкого и американского математика Рихарда Куранта (1888—1972)(1842—1899):
Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в частных производных порядка выше первого, настолько разнообразны, что построение единой общей теории ([как для уравнений первого порядка]) не представляется возможным.
1. Зарождение. Современная геометрическая теория дифференциальных уравнений была заложена в конце XIX века в классических работах норвежского математика Софуса Ли (1842—1899) созданием: законченной теории дифференциальных уравнений первого порядка; фундамента классической теории симметрии.
На рубеже веков французский математик Эли Жозеф Картан (1869—1951), в свою очередь: доказал значимость инвариантных методов в общей теории дифференциальных уравнений; применил эти методы на геометрическом языке векторных полей и дифференциальных форм, но, поскольку координаты играли ещё заметную роль в его работах, он так и не дал полных доказательств ряда своих глубоких результатов.
2. Забвение. В конце XIX — начале XX века великая симфония Софуса Ли, его краеугольный камень общей теории нелинейных уравнений с частными производными, был почётным разделом чистой математики. Но это славное время прекратило своё существование сразу после Первой мировой войны, как будто эта война убила великую нелинейную культуру старых мастеров. Назовём две причины, по которым из храма, созданного Софусом Ли, остались только группы Ли и алгебры Ли: всеобъемлющее искушение линеаризовать всё на свете (пример — функциональный анализ); при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных (пусть и линейных) приходится использовать разные математические структуры, часть которых, особенно из гомологической алгебры, тогда ещё не была открыта.
3. Возрождение. В 50-е и 60-е годы XX века теория Картана была развита дальше в том числе в трудах японского математика (1924—2021), занимающих центральное место в этом развитии. В этот же период французский математик Шарль Эресманн (1905—1979) ввёл язык джетоа (струй), который эволюционировал в полезный рабочий язык теории дифференциальных уравнений. В частности, используя язык джетов: американский математик Губерт Леопольд Гольдшмидт (род. 1942) значительно улучшил формулировки следующих теорем: (Эрих Келер (1906—2000) — немецкий математик); ; американский математик (1912—2001) открыл механизм — важную составную часть рассматриваемого дифференциального исчисления.
В итоге многообразия джетов стали естественной геометрической основой теории дифференциальных уравнений. В частности, пространство касательных элементов, фундамент теории Софуса Ли, есть многообразие джетов первого порядка. Наконец, отметим влияние исследований американских математиков Дональда Клейтона Спенсера и Шломо Цви Штернберга (1936—2024) на общее развитие данной теории.
4. Развитие. Вторичное дифференциальное исчисление — естественное продолжение исследований Софуса Ли и его последователей, дополненное работами математиков в области формальной теорией дифференциальных уравнений с частными производными. Было вскрыто глубокое когомологическое основание прежней формальной теории, разработанной французскими — (1853–1929), (1888–1983) — и другими математиками.
В начале 80-х годов XX века при исследованиях геометрии уравнений с частными производными, начатых в 70-х годах, были открыты первые структуры вторичного дифференциального исчисления московскими математиками посредством естественного синтеза прежних теорий, который основывался на алгебраической «перестройке» анализа. Геометрические основания теории нелинейных дифференциальных уравнений были предметом обсуждения на семинаре, работающем на механико-математическом факультете МГУ под руководством Александром Михайловичем Виноградовым (1938—2019) и участниками Валентином Васильевичем Лычагиным, Борисом Абрамовичем Купершмидтом, Иосифом Семёновичем Красильщиком и другими.
Впервые понятие «диффеотопов», названных «объектами категории нелинейных дифференциальных уравнений», которые «оказываются именно бесконечно продолженные уравнения», появилось в статье Александра Михайловича Виноградова «Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений» в 1980 году, которая была переведена на английский язык в 1981 году. Впервые термин «диффеотоп» появился в статье Александра Михайловича Виноградова «Локальные симметрии и законы сохранения», вышедшей в марте 1984 года на английском языке, русский вариант которой поступил в редакцию 24 декабря 1982 года.
5. Современное состояние. Два основных направление современной теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными следующие: вторичное дифференциальное исчисление. Этот раздел современной математики представляет собой: фундамент теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными; объединяющую теорию с приложениями от арифметической алгебраической геометрии до современных теорий элементарных частиц; внешние дифференциальные системы. Имеют место два аспекта: начиная с работ Эли Жозефа Картана, имеет место традиция представлять дифференциальные уравнения с частными производными в виде внешних дифференциальных систем; как геометрические структуры внешние дифференциальные системы аналогичны дифференциальным уравнениям с частными производными, поэтому затронутые теории можно перевести на их язык, как это сделано в работах Роберта Лимона Брайанта (род. 1953) и Филиппа Огастаса Гриффитса (род. 1938).
Определения Элементарный диффеотоп 1. Элементарный диффеотоп. Элементарный диффеотоп — пара , то есть объект в категории дифференциальных уравнений DE как (вообще говоря, бесконечномерное) многообразие с алгеброй гладких функций и конечномерным структурным распределением такое, что тройка локально представлена тройкой для некоторого уравнения с частными производными и его продолжения . Термин «локально» понимается в смысле топологии Зарисского, происходящей из алгебры .
Элементарные диффеотопы взаимодействуют с уравнениями с частными производными так же, как аффинные алгебраические многообразия с алгебраической геометрией.
2. Размерность. Диффеотопная размерность элементарного диффеотопа — размерность конечномерного структурного распределения . Другими словами, это количество «независимых переменных» в уравнении с частными производными .
Диффеотоп — склейка элементарных диффеотопов одной диффеотопной размерности.
Морфизмы 1. Морфизм. Морфизм диффеотопов и — гладкое отображение , согласованное с распределениями Картана. Используемые термины означают: гладкое отображение — если , то согласованность с распределениями — образ распределения относительно дифференциала лежит в , другими словами,
где — дифференциал в точке .
2. Координатное представление. При координатном представлении морфизмы диффеотопов из в суть бесконечные продолжения дифференциальных операторов, которые отображают решения уравнения в решения уравнения , где и локально есть и . В более точной терминологии, если — такой оператор, а и — локальное описание подмногообразия , то значения производных от в соответствующей точке суть джетовые координаты для .
Накрытия 1. Накрытие. Накрытие (в категории DE) — представитель класса морфизмов диффеотопов таких, что: — сюръекция; — изоморфизм для всех .
2. Нелокальная симметрия. Для заданного уравнения с частными производными понятие нелокальной симметрии (например, закона сохранения) формализуется с помощью понятия накрытия.
-нелокальная симметрия (например, соответственно, закон сохранения) для — симметрия например, соответственно, закон сохранения) для , где — накрытие.
Естественно называть нелокальными такие объекты дифференциального исчисления (например, гладкие функции), которые на включают в себя, вообще говоря, разные «нелокальности» (например, интегралы), если они выражены через соответствующие объекты на .
3. Примеры. В теории уравнений с частными производными имеются конструкции, которые неявно используют накрытия, например: преобразование Беклунда, факторизация уравнений, структуры продолжения Уолквиста — Эстабрука, что демонстрирует важность этого понятия.
Пусть преобразование Беклунда связывает решения уравнений и . Тогда его можно интерпретировать как следующую диаграмму накрытий:
где — элементарные диффеотопы для некоторого уравнения с частными производными .
Общий диффеотоп Важно, что нелокальные величины определённого типа несмотря на то, что «живут» на разных накрытиях, всё равно образуют «сообщество», например, симметрии одного уравнения образуют алгебру Ли. Эта закономерность даёт возможность создать для этих нелокальных величин общее для них исчисление, сильно увеличивая возможности теории, например, анализа симметрий. Чтобы включить и нелокальные величины в рамки категории DE, расширим их, обобщив понятие диффеотопа.