Эволюцио́нный проце́сс (процесс с дифференциальным законом развития) (, от лат. evolutio ― развёртывание и processus — продвижение) ― процесс, обладающий свойством детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.
Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области?
Определения Детерминированный процесс Детерминированный процесс — процесс, для которого состояние в настоящее время однозначно определяет как весь его будущий ход (то есть будущие состояния), так и всё его прошлое (то есть прошлые состояния).
Фазовое пространство детерминированного процесса — множество всевозможных состояний процесса.
Фазовая точка — точка фазового пространства.
Примеры. Детерминированные процессы в классической механике суть движение таких механических систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными условиями (то есть начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы). Фазовое пространство механической системы — множество, элемент которого есть набор положений и скоростей всех точек системы.
Недетерминированный процесс — движение частиц в квантовой механике.
Полудетерминированный процесс — распространение тепла, для которого будущее определяется настоящим, а прошлое — нет.
Конечномерный процесс Конечномерный процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого конечномерно, то есть описывается конечным числом параметров.
Примеры. Конечномерный процесс — ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твёрдых тел. Фазовые пространства этих систем имеют следующие размерности: систем из материальных точек — ; система из твёрдых тел — .
Бесконечномерные процессы — движение жидкостей и газа в гидродинамике, колебания струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустике.
Дифференцируемый процесс Дифференцируемый процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого обладает структурой дифференцируемого многообразия, а его динамика, то есть изменение состояния со временем, описывается дифференцируемыми функциями.
Примеры. Обыкновенными дифференциальными уравнениями могут быть описаны: изменения во времени координат и скоростей точек механической системы в классической механике; процессы радиоактивного распада и размножения бактерий (при достаточном питании), имеющие одномерное фазовое пространство, поскольку состояние процесса описывается количеством вещества или бактерий.
Не дифференцируемы движения, возникающие в теории удара. Обыкновенными дифференциальными уравнениями не описываются квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удара.
Замечание. Как вид дифференциального уравнения процесса, так и факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости процесса устанавливается экспериментальным путём, то есть с некоторой степенью точности. Обычно в теории не различают реальные процессы и идеализированные математические модели.
Фазовое пространство
Задача об автомобилях и возах
Задача (Н. Н. Константинов)(Задача об автомобилях и возах. В. И. Арнольд). Города и связаны двумя близкими непересекающиеся дорогами. Два автомобиля, связанные верёвкой длины, меньшей , проехали по разным дорогам из в , не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса , центры которых движутся по этим дорогам один из в , а другой из в (см. рисунок справа)?
Решение. Построим фазовое пространство процесса, описанного в задаче. Пусть одна из дорого будет первой, другая — второй. Обозначим через долю расстояния между городами и по -дороге, лежащую между городом и экипажем (автомобилем или возом) на этой дороге. Тогда положение объекта, состоящего из двух одноимённых экипажей (двух автомобилей или двух возов), находящихся на разных дорогах, можно описать точкой следующего квадрата (см. рисунок справа):
Итак, фазовое пространство процесса — этот квадрат, а точки квадрата — фазовые точки. Получается, что каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары одноимённых экипажей, а движение этой пары изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве.
Поясним это примерами: начальное положение пары автомобилей (в городе ) отвечает левому нижнему углу квадрата с координатами , а движение пары автомобилей из города в есть кривая, ведущая в противоположный угол с координатами ; начальное положение пары возов отвечает левому верхнему углу квадрата с координатами , а движение возов есть кривая, ведущей в противоположный угол квадрата с координатами — если возы доехали до своих городов.
Остаётся провести рассуждение от противного. Пусть возы разминулись по дороге и доехали до своих городов. Тогда на фазовом пространстве будут две соответствующие кривые (см. рисунок справа вверху). Но любые две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Следовательно, как бы ни двигались возы, наступит хотя бы один момент, когда пара возов займет то же самое положение в квадрате, в котором была в некоторый момент времени пара автомобилей. Но в этот момент, по условию задачи, расстояние между центрами возов будет меньше , что противоречит предположению, что возы разминулись. Итак, возам разминуться не удастся.
Основная задача теории дифференциальных уравнений В рассмотренной задаче об автомобилях и возах не присутствуют дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к их изучению: определение состояний эволюционного процесса точками фазового пространства бывает чрезвычайно полезен. Итак, уже одно построение фазового пространства дало возможность решить трудную задачу.
В классической механике: состояние эволюционного процесса движения системы материальных точек в трёхмерном пространстве определяется их значениями координат и скоростей, поэтому фазовое пространство этой системы имеет размерность (по три координаты и три компоненты скорости на каждую точку). Например, фазовое пространство системы трёх точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) 18-мерно; фазовое пространство системы твёрдых тел имеет размерность , поскольку добавляется три координаты, описывающие ориентацию тела в пространстве.
Фазовая кривая — траектория движения фазовой точки в фазовом пространстве.
Фазовая скорость — движение фазовой точки по фазовой кривой, которое описывает движение всей системы.
Вектор фазовой скорости — вектор, заданный в каждой фазовой точке фазового пространства, определяющий фазовую скорость.
Векторное поле фазовой скорости — все векторы фазовой скорости в фазовом пространстве.
Дифференциальное уравнение эволюционного процесса — зависимость скорости движения фазовой точки от её положения, определяемое векторным полем.
Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области?
Компьютеры приближенно находят решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом.
Благодаря понятию фазового пространства можно свести исследование эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, которые определяются векторными полями.
Интегральные кривые поля направлений
Поле направлений
Поле направлений в области на плоскости — все точки области, причём для каждой точки выбрана проходящая через эту точку прямая, которая называется прямой (направлением) поля направлений, а точка, ей соответствующая — точкой приложения прямой (см. рисунок справа, на котором показана только небольшая часть прямой около точки).
Если две гладкие кривые проходят через одну точку и в ней касаются друг друга, то они задают в этой точке одно и то же направление. Поскольку важна только касательная к кривой в точке (см. рисунок справа, где показана касательная к кривой в точке), прямые в определении поля направлений можно заменить гладкими кривыми, касательные которых в точках суть исходные направления.
Непрерывное (гладкое) поле направлений — поле направлений, у которого прямые поля непрерывно (гладко) зависят от своих точек приложения.
В дальнейшем все встречающиеся в статье объекты (функции, отображения и так далее) предполагаются гладкими, то есть непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если, конечно, не оговорено противное.
Поле направлений в -мерном пространстве и вообще на любом гладком многообразии определяется аналогично.
Интегральная кривая
Интегральная кривая поля направлений — кривая, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поля.
Термин «интегральная кривая» возник потому, что в некоторых случаях интегральная кривая находится применением операции интегрирования.
Пример 1. Возможен такой случай, когда непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при любых сдвигах вдоль некоторой прямой и направления, параллельные этой прямой, отсутствуют (см. рисунок справа, на котором эта прямая вертикальная).
Теорема. Интегральные кривые поля направлений. Поиск интегральных кривых поля направлений, описанного в примере 1, есть отыскание интегралов некоторой непрерывной функции.
Доказательство. Рассмотрим систему координат, в которой описанная прямая — вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальна. Получаем, что интегральная кривая данного поля, не имеющего вертикальных направлений, — график некоторой неизвестной функции, производная которой равна тангенсу угла наклона графика функции к оси абсцисс. Но график функции — интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен другому тангенсу — угла наклона прямой данного поля направлений к оси абсцисс. Следовательно, этот последний тангенс — известная функция абсциссы (так как поле направлений переходит само в себя при перемещении вдоль оси ординат). Окончательно получаем, что некоторая функция, график которой есть интегральная кривая, имеет производной эту известную функцию абсциссы, то есть является её первообразной, что и требовалось доказать.
Перепишем условие этой теоремы в формальном виде. Пусть — абсцисса, а — ордината. Известную функцию — тангенс угла наклона прямой поля направлений — обозначим через , неизвестную функцию, график которой есть интегральная кривая, — через . Кривая есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда . По теореме Барроу .
Следует иметь ввиду, что а общем случае поиск интегральных кривых не сводится к интегрированию: даже для очень простых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых не получается представить в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов.
Пример 2. Для поля направлений с тангенсом угла наклона с осью прямой, приложенной в точке , не получается представить уравнения интегральных кривых в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов (Лиувилль).
Дифференциальное уравнение и его решение Решение дифференциального уравнения
Геометрический поиск интегральных кривых аналитически выглядит как решение дифференциального уравнения. Пусть поле направлений на плоскости не содержит вертикальных направлений (которые параллельны оси ординат (см. рисунок справа с таким полем). В этих условиях тангенс угла наклона к оси абсцисс прямой поля направлений, приложенной в точке , конечен, а интегральные кривые — графики функций . Также пусть область определения функции — интервал оси (см. рисунок справа с этими условиями). Тогда достаточно очевидна следующая теорема.
Теорема. График функции есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда при всех справедливо следующее равенство: