Дифференциальное уравнение Дарбу — дифференциальное уравнение следующего вида
где , и — многочлены переменных и .,
Нормальная (разрешённая относительно производной) форма этого уравнения имеет вид
которая также может иметь набор особых точек,, которые удовлетворяют следующей системе
Решение уравнения
Общий случай. Поскольку уравнение Дарбу является обобщением уравнения Риккати (например, если положить , ), решение его, вообще говоря, не может быть выражено в квадратурах. Уравнение Дарбу может быть решено в тех случаях, когда найдено достаточное количество различных частных решений, которые являются несократимыми многочленами , . Обозначим далее .
Случай 1. Если , общее решение необходимо искать в форме , где , , — числа, находимые методом неопределённых коэффициентов, а переменная в этом произведении сокращается.
Случай 2. Если , данное уравнение Дарбу допускает нахождение интегрирующего множителя, который имеет такую же форму, как и произведение , обозначенное выше.
Однородный случай. Если многочлены , и исходного уравнения являются однородными и при этом и имеют одинаковые степени, решение может быть найдено в квадратурах и для этого существует чёткий алгоритм.
Обозначим , . Если , исходное уравнение является однородным по аргументу и решается таким же образом, как и указано далее.
Подстановка в уравнение приводит к уравнению Бернулли относительно обратной функции .
Поскольку , и — однородные многочлены степеней , и соответственно, существуют многочлены , и такие, что
, , и .
Подставив всё в исходное уравнение, получим .
Если полученное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. В противном случае по теореме о производной обратной функции
.
Полученное уравнение является уравнением Бернулли.
Обобщённое уравнение Дарбу Уравнение, имеющее вид
,
называется обобщённым (однородным) уравнением Дарбу, где функции , и — произвольные.
Данное уравнение также может быть сведено к уравнению Бернулли тем же методом, что и описан выше. Подстановка приводит к уравнению
,
или, в форме, разрешённой относительно производной,
,
которое либо допускает разделение переменных при , либо во всех остальных случаях есть уравнение Бернулли относительно .
См. также
Уравнение Бернулли Уравнение Риккати
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Нелинейные уравнения