Вы́пуклый многосторо́нник () — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей.
Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость.
Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника.
Выпуклый многоугольник — то же самое, что и ограниченный выпуклый многосторонник.
Выпуклый многогранник — обобщение на трёхмерное пространство выпуклого многосторонника.
Выпуклый n-сторонник Рассмотрим выпуклый многосторонник , который образован пересечением следующего множества замкнутых полуплоскостей: .
Лишняя полуплоскость — полуплоскость из множества замкнутых полуплоскостей , образовывающих выпуклый многосторонник , которая содержит пересечение всех остальных плоскостей из .
Лишнюю полуплоскость можно удалить из множества замкнутых полуплоскостей , определяющих многосторонник , при этом не изменится и будет определён меньшим числом полуплоскостей.
Выпуклый -сторонник — выпуклый многосторонник, образованный пересечением замкнутых полуплоскостей, среди которых нет лишних.
Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть просто замкнутая полуплоскость.
Выпуклые двусторонники — это углы, меньшие , и полосы, а также прямые, которые представляются как пересечение двух замкнутых полуплоскостей. Выпуклые односторонники и двусторонники всегда не ограничены.
Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника.
Произвольная выпуклая фигура, расположенная на прямой (точка, отрезок, луч или вся прямая), есть выпуклый многосторонник.
Нульмерный выпуклый многосторонник — это точка. Одномерные выпуклые многосторонники — отрезок, луч и прямая. Двумерные выпуклые многосторонники — все остальные выпуклые многосторонники.
Опорные прямые выпуклого многосторонника
Рассмотрим некоторый выпуклый -сторонник и полуплоскостей , пересечение которых определяет . Обозначим через граничные прямые соответственно полуплоскостей .
Предложение 1. Каждая из описанных прямых представляет собой опорную прямую данной фигуры .
Доказательство. Поскольку, по условию, фигура полностью принадлежит полуплоскости , , то она находится по одну сторону от прямой . Предположим, что прямая совсем не имеет общих точек с фигурой , получим, что полуплоскость лишняя, что противоречит тому условию, что — выпуклый и среди плоскостей нет лишних. □
Двумерный выпуклый многосторонник
Рассмотрим свойства двумерного выпуклого многосторонника .
Предложение 1. Каждая прямая из опорных прямых пересекается с границей двумерного выпуклого многосторонника либо по отрезку, либо по лучу, либо целиком лежит на границе .
Доказательство. Поскольку, по условию, фигура полностью принадлежит полуплоскости , , то она находится по одну сторону от прямой . Предположим, что прямая имеет только одну общую граничную точку с границей фигуры , получим, что полуплоскость лишняя, что противоречит тому условию, что — выпуклый и среди плоскостей нет лишних. □
Сторона выпуклого многосторонника — часть опорной прямой выпуклого многосторонника, принадлежащей его границе.
У выпуклого -сторонника сторон.
Вершина выпуклого многосторонника — конец стороны выпуклого многосторонника.
Альтернативное определение: сторона выпуклого многосторонника — вся опорная прямая выпуклого многосторонника.
Рассмотрим двумерный выпуклый -сторонник при . Граница такого многосторонника есть ломаная. Если многосторонник ограничен, то эта ломаная замкнута, если не ограничен, то эта ломаная включает два луча. В первом случае у многосторонника вершин, во втором — .
Примечания Комментарии Термин «Выпуклый многосторонник» в английской Википедии ни в каком виде не встречается.
Источники
Литература