Подстановка Пайерлса — метод адиабатического приближения для уравнений квантовой механики с быстро меняющимися электрическими потенциалами и слабыми магнитными полями. Названа в честь Рудольфа Пайерлса и является широко используемым приближением для описания сильно связанных электронов в присутствии медленно меняющегося магнитного векторного потенциала.
При наличии внешнего магнитного поля с векторным потенциалом , операторы трансляции в двумерной решётке, которые образуют кинетическую часть гамильтониана в рамках сильной связи, записываются в координатном представлении в виде
и рамках операторов вторичного квантования
Фазы определяются как интегралы
Свойства Число квантов магнитного потока через ячейку (плакетку) связано с ротором решётки фазового множителя, а полный поток через решётку равен сумме с квант магнитного потока в гауссовых единицах.
Поток через ячейку связан с накопленной фазой состояния для одной частицы, при обходе вокруг плакетки:
Описание Здесь приводится три вывода подстановки Пайерлса, каждый из которых основан на различных формулировках квантовой механики.
Аксиоматический подход Простой вывод подстановки Пайерлса, основан на Фейнмановских лекциях. Этот вывод постулирует, что магнитные поля включены в модель сильной связи путём добавления фазы к туннельным матричным элементам t, которые задают амплитуду перехода электрона на соседний атом. Этот подход согласуется с гамильтонианом в длинноволновом приближении, когда длина волны много больше размера ячейки. Отправной точкой является гамильтониан Хофштадтера:
Оператор перехода можно явно записать с использованием генератора трансляции, то есть оператора импульса. В рамках этого представления его легко расширить до второго порядка теории возмущений,
и в двумерной решётке . Разлагая до второго порядка фазовые множители, и предполагая, что векторный потенциал не меняется существенно на одном шаге решётки (который считается малым)
Подстановка этих ращложенией в соответствующую часть гамильтониана даёт
Обобщая последний результат на двумерный случай, приходим к гамильтониану Хофштадтера в длинноволновом пределе:
где эффективная масса и .
Полуклассический подход Также можнопоказать что фазрвый множитель Пайерлса возникает из пропагатора для электрона в магнитном поле из-за динамического члена врзникающего в лагранжиане. В формализме интеграла по траекториям, который обобщает принцип действия классической механики, амплитуда перехода от атома во в момент временм на атом в мемент времени задаётся как
где оператор интегрирования, обозначает сумму по всем возможным путям из к и — это классическое действие, представляющее собой функционал, принимающий траекторию в качестве своего аргумента. Здесь используется для обозначения траектории с конечными точками в . Лагранжиан системы можно записать в виде
где — лагранжиан без магнитного поля. Соответствующее действие запишется как
Предполагая, что только одна траектория вносит значительный вклад,
Тогда, амплитуда перехода электрона, помещённого в магнитное поле, равна амплитуде перехода в отсутствие магнитного поля, умноженной на фазу.
Другой вывод Пусть гамильтониан Шрёдингера определяется как
где потенциальная энергия, обусловленный кристаллической решёткой. Теорема Блоха утверждает, что решение задачи: , следует искать в форме Блоховской волны
где — число элементарных ячеек, а — функции Ванье. Соответствующие собственные значения энергии , которые образуют зоныв зависимости от квазиимпульса , получаются путём вычисления матричных элементов
и в конечном итоге зависят от прыжковых интегралов
В присутствии магнитного поля гамильтониан изменяется на
где — заряд частицы. принимая вов нимание изменения функций Ванье на
где , новые волновые функции Блоха принимают вид
которые представляют собой собственные состояния полного гамильтониана в момент времени , с той же энергией, что и прежде. Чтобы увидеть это, сначала используется
Затем вычисляется прыжковый интеграл в квазиравновесии (предполагая, что векторный потенциал изменяется медленно)
где — поток через треугольник, создаваемый тремя аргументами. Так как мы предполагаем, приблизительно равномерна на масштабе решётки — масштабе, в котором состояния Ванье локализованы на атомах , то можно приблизительно считать , что даёт желаемый результат, Таким образом, матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением подобранного фазового множителя, который обозначается как фазовый множитель Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку в этом случае можно использовать одни и те же параметры материала независимо от значения магнитного поля, а учёт соответствующей фазы становится тривиальным с точки зрения вычислений. Для электронов () это равносильно замене туннельных матричных элементов на .
Примечания
Категория:Зонная теория