Машина Дубинса — математическое описание движения машины на плоскости с ограничением на поворот руля. Траектории такой машины имеют ограниченную кривизну с обоих сторон.
Примеры кратчайших траекторий машины Дубинса.
Описание
Машина Дубинса описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
где и — координаты положения машины на плоскости, а — угол её направления.
История
Лестер Эли Дубинс (1920—2010) доказал, что кратчайший путь такого типа между точками плоскости с выбранными направлениями состоит из максимально изогнутых и/или прямых отрезков. Другими словами, кратчайший путь будет проложен путем соединения дуг окружностей максимальной кривизны и прямых линий.
Дубинс доказал свой результат в 1957 году. В 1974 году Гарольд Х. Джонсон передоказал результат Дубинса, применив принцип максимума Понтрягина. В частности, Гарольд Х. Джонсон представил необходимые и достаточные условия для того, чтобы плоская кривая, имеющая ограниченную кусочно-непрерывную кривизну и заданные начальные и конечные точки и направления, имела минимальную длину. В 1992 году тот же результат был передоказан с использованием принципа максимума Понтрягина. Совсем недавно Дж. Айала, Д. Кирзенблат и Дж. Хайам Рубинштейн представили доказательство на основе дифференциальной геометрии кривых. Доказательство, характеризующее пути машины Дубинса в гомотопических классах, было дано Дж. Айалой.
Вариации и обобщения Предпологается, что машина Дубинса, движется только вперед. Если она может двигаться и задним ходом, то её путь называется траекторией Ридса — Шеппа.
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия кривых Категория:Оптимальное управление