Треугольная мозаика порядка 8ТипГиперболическая правильная мозаикаКонфигурация вершины 38Символ Шлефли {3,8}(3,4,3)Символ Витхоффа 8 | 3 2 4 | 3 3Симметрии [8,3], (*832)[(4,3,3)], (*433)[(4,4,4)], (*444)Диаграммы Коксетера — Дынкина или Двойственные соты восьмиугольная мозаикаСвойстваИзогональная, изотоксальная, изоэдральная Треугольная мозаика порядка 8 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика имеет символ Шлефли {3,8}, у неё восемь правильных треугольников вокруг каждой вершины.
Однородные раскраски Полусимметрия [1+,8,3] = [(4,3,3)] может быть показана чередующейся двухцветной раскраской треугольников:
Симметрия
Исходя из симметрии [(4,4,4)], имеется 15 подгупп с малым индексом (7 уникальных), получаемых удалением зеркального отражения и операцией . Зеркала могут быть удалены, если их порядки ветвей все чётные, и удаление приводит к уменьшению порядков соседних ветвей вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал. На рисунках фундаментальные области выкрашены с чередованием цветов и зеркала находятся на границах между областями разного цвета. Добавление 3 зеркал в каждую фундаментальную область создаёт . Группа с индексом 8 [(1+,4,1+,4,1+,4)] (222222) является коммутантом группы [(4,4,4)].
Подгруппа [(4,4,4*)] с индексом 8, построенная из (2*2222) путём удаления точек вращения, становится (*22222222).
Симметрия может быть удвоена до симметрии 842 путём добавления зеркал в фундаментальные области.
+ Подгруппы [(4,4,4)] (*444) с малым индексомИндек124Диаграмма[(4,4,4)][(1+,4,4,4)] = [(4,1+,4,4)] = [(4,4,1+,4)] = [(1+,4,1+,4,4)][(4+,4+,4)]*444*42422*222222×ДиаграммаКоксетер[(4,4+,4)][(4,4,4+)][(4+,4,4)][(4,1+,4,1+,4)][(1+,4,4,1+,4)] = Орбифолд4*222*222Прямые подгруппыИндекс248ДиаграммаКоксетер[(4,4,4)]+[(4,4+,4)]+ = [(4,4,4+)]+ = [(4+,4,4)]+ = [(4,1+,4,1+,4)]+ = Орбифолд4444242222222Радикальные подгруппыИндекс816ДиаграммаКоксетер[(4,4*,4)][(4,4,4*)][(4*,4,4)][(4,4*,4)]+[(4,4,4*)]+[(4*,4,4)]+Орбифолд*2222222222222222
Связанные многогранники и мозаики
Исходя из построения Витхоффа существует десять гиперболических однородных мозаик, которые базируются на правильных мозаиках - восьмиугольной и треугольной порядка 8.
Если рисовать мозаики, выкрашивая красным цветом исходные грани, жёлтым цветом исходные вершины и синим цветом исходные рёбра, получим 10 форм.
Мозаика также может быть получена из (4 3 3) гиперболических мозаик:
См. также
Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
Ссылки
Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch
Категория:Гиперболические мозаики Категория:Изогональные мозаики Категория:Изоэдральные мозаики Категория:Правильные мозаики